На диагонали АС параллелограмма ABCD отметили точки Р и К так, что АР=СК (точка Р лежит между точками...

Доказательство:

1. Так как точки P и К лежат на диагонали AC параллелограмма ABCD и АР=СК, то AP=CK.
2. Так как AD и BC - диагонали параллелограмма ABCD, то они пересекаются в их точке пересечения O.
3. Треугольники AOP и COB равнобедренные, так как AP=CK (см. шаг 1), AO=OC (диагонали параллелограмма равны).
4. Отсюда следует, что угол AOP равен углу COB, и углы AOD и COB также равны.
5. Таким образом, угол ADP равен углу CBK.

Таким образом, ADP=CBK.

Для того чтобы доказать, что треугольники ( \triangle ADP ) и ( \triangle CBK ) равны, рассмотрим параллелограмм ( ABCD ) и используем некоторые свойства параллелограммов и треугольников.

1. Свойства параллелограмма:

   • В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны: ( AB \parallel CD ) и ( AD \parallel BC ), ( AB = CD ) и ( AD = BC ).
   • Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника: ( \triangle ABD \cong \triangle CDB ).

2. Рассмотрим точки P и K на диагонали AC:

   • Пусть точки ( P ) и ( K ) делят диагональ ( AC ) так, что ( AP = CK ) и точка ( P ) лежит между точками ( A ) и ( K ).

3. Используем свойства равенства отрезков:

   • Так как ( AP = CK ), точки делят диагональ ( AC ) симметрично относительно середины этой диагонали. Это значит, что ( P ) и ( K ) являются симметричными точками относительно середины диагонали ( AC ).

4. Докажем равенство треугольников:

   • Рассмотрим треугольники ( \triangle ADP ) и ( \triangle CBK ).

   • Рассмотрим их стороны:

     • ( AD \parallel BC ) и ( AD = BC ) (по свойству параллелограмма).
     • ( AP = CK ) (по условию задачи).

   • Рассмотрим углы:

     • Угол ( \angle DAP ) равен углу ( \angle BCK ), так как эти углы являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых ( AD ) и ( BC ) диагональю ( AC ).

   • Треугольники ( \triangle ADP ) и ( \triangle CBK ) имеют по два равных угла и одну равную сторону ( AP = CK ), лежащую между этими углами.

5. Вывод:

   • На основании признака равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними), треугольники ( \triangle ADP ) и ( \triangle CBK ) равны: [ \triangle ADP \cong \triangle CBK ]

Таким образом, треугольники ( ADP ) и ( CBK ) действительно равны, что и требовалось доказать.

Для доказательства равенства углов ADP и CBK в параллелограмме ABCD воспользуемся свойствами параллельных линий.

Поскольку AC - диагональ параллелограмма, то угол ACD равен углу BAC (по свойству параллельных линий). Таким образом, угол ACD равен углу BAC.

Также, по условию, длина отрезка AR равна длине отрезка CK. Это означает, что треугольники ARP и CKS равны по стороне и двум углам, прилегающим к этой стороне.

Из равенства углов ARP и CKS следует, что угол ARP равен углу CKS. Но угол ARP равен углу ADP, а угол CKS равен углу CBK.

Таким образом, углы ADP и CBK равны друг другу.