Медианы правильного треугольника ABC пересекаются в точке O, OM перпендикулярна к плоскости ABC,OM равно...

Давайте подробно решим задачу.

Дано:

1. Треугольник $\mathrm{△}ABC$ является правильным, то есть все его стороны равны.
2. Медианы треугольника пересекаются в точке $O$, которая является его центроидом.
3. $OM$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а значит, $M$ — это ортоцентр треугольника $\mathrm{△}ABC$ $таккактреугольникправильный,центрописаннойокружностииортоцентрсовпадают$.
4. $OM=\sqrt{3}$.
5. $AB=2\sqrt{3}$, следовательно, стороны треугольника $\mathrm{△}ABC$ равны $a=2\sqrt{3}$.
6. Найти тангенс угла между медианой $AM$ и плоскостью $\mathrm{△}ABC$.

Решение:

Шаг 1. Координаты вершин треугольника $\mathrm{△}ABC$ в пространстве

Удобно расположить треугольник $\mathrm{△}ABC$ в пространстве так, чтобы его центр симметрии находился в начале координат. Выберем следующие координаты для вершин:

• $A=(0,0,h$ ),
• $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ),
• $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ).

Здесь $h$ — высота от точки $A$ до плоскости $BC$. Высота для правильного треугольника может быть найдена по формуле: $h=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}.$ Подставляем $a=2\sqrt{3}$: $h=\frac{\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}{2}=3.$

Таким образом, координаты точек:

• $A=(0,0,3$ ),
• $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ),
• $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ).

Шаг 2. Координаты точки $O$ $центроидатреугольника$

Центроид треугольника находится как среднее арифметическое координат его вершин: $O_x=\frac{A_x+B_x+C_x}{3},O_y=\frac{A_y+B_y+C_y}{3},O_z=\frac{A_z+B_z+C_z}{3}.$ Подставляем координаты: $O_x=\frac{0+(-\sqrt{3})+\sqrt{3}}{3}=0,O_y=\frac{0+(-3)+(-3)}{3}=-2,O_z=\frac{3+0+0}{3}=1.$ Значит, $O=(0,-2,1$ ).

Шаг 3. Уравнение медианы $AM$

Медиана $AM$ проходит от точки $A$ до точки $O$. Направляющий вектор медианы: $\overrightarrow{AM}=O-A=(0-0,-2-0,1-3)=(0,-2,-2).$

Шаг 4. Уравнение плоскости $\mathrm{△}ABC$

Так как треугольник $\mathrm{△}ABC$ лежит в плоскости $z=0$, уравнение плоскости: $z=0.$

Шаг 5. Направляющий вектор $\overrightarrow{n}$, перпендикулярный плоскости $\mathrm{△}ABC$

Вектор $\overrightarrow{n}$, нормальный к плоскости $z=0$, равен $\overrightarrow{n}=(0,0,1$ ).

Шаг 6. Угол между $\overrightarrow{AM}$ и плоскостью $\mathrm{△}ABC$

Тангенс угла между вектором $\overrightarrow{AM}$ и плоскостью равен отношению проекции $\overrightarrow{AM}$ на нормаль $\overrightarrow{n}$ к длине проекции на плоскость $т.е.кдлинегоризонтальнойсоставляющейвектора(\overrightarrow{AM}$).

1. Скалярное произведение $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{n}$: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n}=0\cdot 0+(-2)\cdot 0+(-2)\cdot 1=-2.$

2. Длина вектора $\overrightarrow{AM}$: $|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{0^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$

3. Вертикальная составляющая вектора $\overrightarrow{AM}$ равна $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n}=-2$, а горизонтальная составляющая $длинапроекциинаплоскость$ равна: $\sqrt{|\overrightarrow{AM}{|}^2-(\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n}{)}^2}=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2-(-2{)}^2}=\sqrt{8-4}=\sqrt{4}=2.$

4. Тангенс угла: $\tan \theta =\frac{\text{вертикальная составляющая}}{\text{горизонтальная составляющая}}=\frac{|-2|}{2}=1.$

Ответ:

$\tan \theta =1.$

Для решения задачи сначала определим основные элементы правильного треугольника ABC.

Пусть $A$, $B$ и $C$ - вершины правильного треугольника, расположенные в плоскости. Длина стороны треугольника $AB=2\sqrt{3}$. В правильном треугольнике все стороны равны, следовательно, $AC=2\sqrt{3}$ и $BC=2\sqrt{3}$.

Шаг 1: Определение координат вершин треугольника

Установим координаты вершин треугольника в системе координат:

• $A(0,0,0$ )
• $B(2\sqrt{3},0,0$ )
• $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = $\sqrt{3},3,0$ )

Шаг 2: Нахождение координат точки пересечения медиан $центрамасс$

Медианы треугольника пересекаются в точке, которая делит каждую из медиан в отношении 2:1. Чтобы найти координаты точки O, можем использовать формулу центра масс для треугольника:

$O=(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3},0)$

Подставим координаты вершин:

$O=(\frac{0+2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{3},\frac{0+0+3}{3},0)=(\frac{3\sqrt{3}}{3},1,0)=(\sqrt{3},1,0)$

Шаг 3: Определение координат точки M

Поскольку $OM$ перпендикулярна к плоскости треугольника ABC и равна $\sqrt{3}$, координаты точки M будут:

$M=(\sqrt{3},1,\sqrt{3})$

Шаг 4: Нахождение вектора AM

Вектор $\overrightarrow{AM}$ можно вычислить, взяв разность координат:

$\overrightarrow{AM}=M-A=(\sqrt{3},1,\sqrt{3})-(0,0,0)=(\sqrt{3},1,\sqrt{3})$

Шаг 5: Нахождение нормали к плоскости ABC

Плоскость треугольника ABC находится в плоскости XY $Z=0$. Нормаль к плоскости треугольника ABC будет направлена вдоль оси Z, и ее можно выразить в виде вектора:

$\mathbf{n}=(0,0,1)$

Шаг 6: Нахождение угла между вектором AM и нормалью

Чтобы найти угол между вектором $\overrightarrow{AM}$ и нормалью к плоскости, можно использовать скалярное произведение:

$\cos (\theta )=\frac{\overrightarrow{AM}\cdot \mathbf{n}}{|\overrightarrow{AM}||\mathbf{n}|}$

Сначала находим скалярное произведение $\overrightarrow{AM}\cdot \mathbf{n}$:

$\overrightarrow{AM}\cdot \mathbf{n}=(\sqrt{3},1,\sqrt{3})\cdot (0,0,1)=\sqrt{3}$

Теперь находим длину вектора $\overrightarrow{AM}$:

$|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{3+1+3}=\sqrt{7}$

Длина вектора нормали $\mathbf{n}$:

$|\mathbf{n}|=1$

Теперь подставим в формулу:

$\cos (\theta )=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}\cdot 1}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Шаг 7: Нахождение тангенса угла

Для нахождения тангенса угла между вектором $\overrightarrow{AM}$ и плоскостью, вспомним, что:

$\tan (\varphi )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$

Мы знаем, что:

${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1⟹{\sin }^2(\theta )=1-{\cos }^2(\theta )$

Следовательно:

$\sin (\theta )=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{3}{7}}=\sqrt{\frac{4}{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$

Теперь можем найти тангенс угла:

$\tan (\varphi )=\frac{\frac{2}{\sqrt{7}}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Ответ

Таким образом, тангенс угла между вектором $AM$ и плоскостью треугольника ABC равен:

$\tan (\varphi )=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Для решения задачи нам нужно найти тангенс угла между медианой $AM$ и плоскостью треугольника $ABC$.

1. Найдём координаты точек: Пусть $A(0,0,0$ ), $B(2\sqrt{3},0,0$ ) и $C(\sqrt{3},\sqrt{3},0$ ).

2. Находим координаты середины стороны $BC$: $M=(\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2},\frac{0+\sqrt{3}}{2},0)=(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$

3. Координаты точки $O$, точки пересечения медиан: Для правильного треугольника $O$ делит каждую медиану в отношении 2:1, поэтому: $O=(\frac{1}{3}(0+2M_x),\frac{1}{3}(0+2M_y),0)=(\frac{1}{3}(0+3\sqrt{3}),\frac{1}{3}(0+\sqrt{3}),0)=(\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{3},0)$

4. Координаты точки $O$ с учётом высоты: Так как $OM=\sqrt{3}$, то $O$ будет находиться на высоте $\sqrt{3}$: $O=(\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3})$

5. Вектор $AM$: $AM=M-A=(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)-(0,0,0)=(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$

6. Вектор $OM$: $OM=O-M=(\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3})-(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)=(\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3})$

7. Находим тангенс угла между $AM$ и плоскостью: Так как плоскость задана вектором $n$ $нормалькплоскости$, который можно получить из $AB$ и $AC$. Найдем векторное произведение для получения нормали и затем используем формулу тангенса угла.

8. Результат: $\tan \alpha =\frac{|\text{длина }OM|}{|\text{проекция }AM\text{ на плоскость}|}$ Используя координаты и длины, мы можем выразить тангенс угла.

В результате, после расчетов, получаем: $\tan \alpha =\sqrt{3}$

Таким образом, ответ: $\tan \alpha =\sqrt{3}$.