Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника...

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и формулами для медиан.

Дано:

• Равнобедренный треугольник ( ABC ) с основанием ( AC = 80 ) см.
• Медиана ( BM ), проведённая к основанию ( AC ), равна ( 160 ) см.

Нужно найти длины двух других медиан: ( AM ) и ( CM ).

Шаг 1: Определение свойств медианы в равнобедренном треугольнике

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Это значит, что точка ( M ) является серединой основания ( AC ), и ( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{80}{2} = 40 ) см.

Шаг 2: Использование теоремы о медиане

Длина медианы ( m_a ) в треугольнике ( ABC ) (где ( a ), ( b ), ( c ) — стороны треугольника, а ( m_a ) — медиана к стороне ( a )) определяется формулой:

[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} ]

Для медианы ( BM ), которая равна 160 см, и стороны ( a = AC = 80 ) см, подставим в формулу:

[ 160 = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2b^2 - 80^2} ]

[ 160 = \frac{1}{2} \sqrt{4b^2 - 6400} ]

Умножим обе стороны уравнения на 2 и возведём в квадрат:

[ 25600 = 4b^2 - 6400 ]

[ 32000 = 4b^2 ]

[ b^2 = 8000 ]

[ b = \sqrt{8000} = 20\sqrt{20} ]

Шаг 3: Нахождение других медиан

Теперь, когда мы знаем длины всех сторон треугольника (( AB = BC = b = 20\sqrt{20} ) см и ( AC = 80 ) см), можно найти длины медиан ( AM ) и ( CM ).

Для медианы ( AM ):

[ m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} ]

Подставим значения:

[ m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2(20\sqrt{20})^2 + 2(80)^2 - (20\sqrt{20})^2} ]

[ m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times 8000 + 2 \times 6400 - 8000} ]

[ m_b = \frac{1}{2} \sqrt{16000 + 12800 - 8000} ]

[ m_b = \frac{1}{2} \sqrt{20800} ]

[ m_b = \frac{1}{2} \times 144.22 \approx 72.11 \text{ см} ]

Медиана ( AM ) равна ( 72.11 ) см. Так как треугольник равнобедренный, медиана ( CM ) будет такой же длины.

Ответ: Две другие медианы равны приблизительно 72.11 см каждая.

Для равнобедренного треугольника медиана, проведённая к основанию, равна половине основания. Таким образом, если одна медиана равна 160 см, то другие две медианы также будут равны 160 см.

Для начала построим равнобедренный треугольник ABC, где медиана из вершины A равна 160 см, а основание BC равно 80 см. Обозначим точку пересечения медиан и вершин треугольника как точку M.

Так как медиана, проведенная к основанию треугольника, делит ее на две равные части, то точка M является серединой основания BC. Таким образом, BM = MC = 40 см.

Теперь рассмотрим медиану, проведенную к стороне AC. По свойству медианы, она делит сторону AC пополам. Обозначим точку пересечения медианы и стороны AC как точку N. Так как AM = MC = 80 см, то AN = NC = 80 см.

Таким образом, медиана, проведенная к стороне AC, равна 80 см.

Для нахождения третьей медианы, проведенной к стороне AB, можно воспользоваться тем же свойством медианы. Так как точка M является серединой стороны BC, то медиана, проведенная к стороне AB, также равна 80 см.

Итак, две другие медианы равнобедренного треугольника, в данном случае, также равны 80 см каждая.