Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, которая делит хорду AB на отрезки длинной 2 и 9 см. На какие отрезки делит точка M хорду СD, если один из них на 2 раза больше другого?
Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, которая делит хорду AB на отрезки длинной 2 и 9 см. На какие отрезки делит точка M хорду СD, если один из них на 2 раза больше другого?
Для решения задачи используем теорему о произведении отрезков хорд, которая гласит, что если две хорды пересекаются в точке внутри окружности, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.
В данном случае, хорды AB и CD пересекаются в точке M. Пусть AM = 2 см и MB = 9 см, тогда произведение длин отрезков хорды AB будет равно:
[ AM \times MB = 2 \times 9 = 18. ]
Теперь обозначим отрезки хорды CD, на которые делится точка M, как x и 2x, так как по условию один из отрезков в 2 раза больше другого. Тогда произведение длин отрезков этой хорды будет:
[ x \times 2x = 2x^2. ]
Согласно теореме о произведении отрезков хорд, имеем:
[ 2x^2 = 18. ]
Решим это уравнение:
[ x^2 = \frac{18}{2} = 9, ]
[ x = \sqrt{9} = 3. ]
Таким образом, отрезки хорды CD равны 3 см и 6 см.
Ответ: точка M делит хорду CD на отрезки длиной 3 см и 6 см.
Пусть точка M делит хорду CD на отрезки длиной x и 2x см. Так как точка M делит хорду AB на отрезки длиной 2 и 9 см, то по теореме о пересекающихся хордах имеем: 2 9 = x 2x 18 = 2x^2 x^2 = 9 x = 3
Таким образом, точка M делит хорду CD на отрезки длиной 3 см и 6 см. Один из отрезков (6 см) в два раза больше другого (3 см).
