Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M. Известно, что угол AMC = 139°. Мера дуги AD больше...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства углов, образованных хордами и дугами окружности.

Из условия известно, что угол AMC = 139°. Так как угол, образованный двумя хордами, равен полусумме центральных углов, соответствующих этим хордам, то получаем, что угол AMB = 139°.

Также из условия известно, что мера дуги AD больше меры дуги BC на 22°. Поскольку угол, заключенный в центральной дуге, равен удвоенной мере этой дуги, то получаем, что угол ACD = 11° $22°/2$ и угол BAD = 11°.

Таким образом, угол BAC = 139° - 11° = 128°. Теперь, используя теорему о центральном угле, мы можем найти меру дуги AD: 2 угол BAC = 2 128° = 256°.

Итак, мера дуги AD равна 256°.

Для решения задачи используем свойства окружности и теоремы о секущих.

1. Теорема об углах, образованных хордами, которые пересекаются внутри окружности: угол между двумя хордами окружности равен полусумме дуг, которые эти хорды отсекают. В данном случае, угол AMC равен 139°, и он равен полусумме дуг AC и BD: $\mathrm{\angle }AMC=\frac{\text{дуга }AC+\text{дуга }BD}{2}=139°.$

2. Система уравнений: Пусть $\text{дуга }AD=x$, а $\text{дуга }BC=y$. По условию задачи, дуга AD больше дуги BC на 22°: $x=y+22°.$

3. Решение уравнения для угла AMC: Угол между хордами также выражается через дуги, на которые они опираются: $139°=\frac{y+\text{дуга }BD}{2}.$ Следовательно, $y+\text{дуга }BD=278°.$

4. Связь между дугами: В окружности сумма всех дуг равна 360°. Сумма дуг AD, BC, AC и BD должна равняться 360°: $x+y+\text{дуга }AC+\text{дуга }BD=360°.$

5. Подстановка значений: Мы уже знаем, что $x=y+22°$, и $y+\text{дуга }BD=278°$, следовательно, $\text{дуга }AC+y+278°=360°.$ $\text{дуга }AC=360°-278°=82°.$

6. Суммы дуг AC и BD: Теперь используем выражение для угла AMC: $x+(360°-x-y)=278°.$

7. Система уравнений: Подставляя $x=y+22°$ в $y+\text{дуга }BD=278°$, получаем: $y+(360°-(y+22°)-y)=278°,$ $360°-22°-y=278°,$ $338°-y=278°,$ $y=60°.$

8. Нахождение $x$: Используем $x=y+22°$: $x=60°+22°=82°.$

Таким образом, мера дуги AD равна 82°.

Для нахождения меры дуги AD нам нужно воспользоваться свойствами центральных и вписанных углов на окружности.

Учитывая, что угол AMC = 139° и угол ADC - угол AMC = 22°, получаем, что угол ADC = 139° + 22° = 161°.

Таким образом, мера дуги AD составляет 161°.