Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M. Известно, что угол AMC = 139°. Мера дуги AD больше...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства углов, образованных хордами и дугами окружности.

Из условия известно, что угол AMC = 139°. Так как угол, образованный двумя хордами, равен полусумме центральных углов, соответствующих этим хордам, то получаем, что угол AMB = 139°.

Также из условия известно, что мера дуги AD больше меры дуги BC на 22°. Поскольку угол, заключенный в центральной дуге, равен удвоенной мере этой дуги, то получаем, что угол ACD = 11° (22° / 2) и угол BAD = 11°.

Таким образом, угол BAC = 139° - 11° = 128°. Теперь, используя теорему о центральном угле, мы можем найти меру дуги AD: 2 угол BAC = 2 128° = 256°.

Итак, мера дуги AD равна 256°.

Для решения задачи используем свойства окружности и теоремы о секущих.

1. Теорема об углах, образованных хордами, которые пересекаются внутри окружности: угол между двумя хордами окружности равен полусумме дуг, которые эти хорды отсекают. В данном случае, угол AMC равен 139°, и он равен полусумме дуг AC и BD: [ \angle AMC = \frac{\text{дуга } AC + \text{дуга } BD}{2} = 139°. ]

2. Система уравнений: Пусть (\text{дуга } AD = x), а (\text{дуга } BC = y). По условию задачи, дуга AD больше дуги BC на 22°: [ x = y + 22°. ]

3. Решение уравнения для угла AMC: Угол между хордами также выражается через дуги, на которые они опираются: [ 139° = \frac{y + \text{дуга } BD}{2}. ] Следовательно, [ y + \text{дуга } BD = 278°. ]

4. Связь между дугами: В окружности сумма всех дуг равна 360°. Сумма дуг AD, BC, AC и BD должна равняться 360°: [ x + y + \text{дуга } AC + \text{дуга } BD = 360°. ]

5. Подстановка значений: Мы уже знаем, что (x = y + 22°), и (y + \text{дуга } BD = 278°), следовательно, [ \text{дуга } AC + y + 278° = 360°. ] [ \text{дуга } AC = 360° - 278° = 82°. ]

6. Суммы дуг AC и BD: Теперь используем выражение для угла AMC: [ x + (360° - x - y) = 278°. ]

7. Система уравнений: Подставляя (x = y + 22°) в (y + \text{дуга } BD = 278°), получаем: [ y + (360° - (y + 22°) - y) = 278°, ] [ 360° - 22° - y = 278°, ] [ 338° - y = 278°, ] [ y = 60°. ]

8. Нахождение (x): Используем (x = y + 22°): [ x = 60° + 22° = 82°. ]

Таким образом, мера дуги AD равна 82°.

Для нахождения меры дуги AD нам нужно воспользоваться свойствами центральных и вписанных углов на окружности.

Учитывая, что угол AMC = 139° и угол ADC - угол AMC = 22°, получаем, что угол ADC = 139° + 22° = 161°.

Таким образом, мера дуги AD составляет 161°.