Хорда РК делится точкой М на два отрезка РМ=7 дм, МК=8 дм. Найдите расстояние от точки М до центра окружности,...

Для решения задачи мы будем использовать свойства хорд и окружности, а именно теорему о произведении отрезков хорды и теорему Пифагора.

Дано:

1. Хорда ( PK ) делится точкой ( M ) на два отрезка ( PM = 7 ) дм и ( MK = 8 ) дм.
2. Радиус окружности ( R = 9 ) дм.

Обозначим расстояние от точки ( M ) до центра окружности ( O ) как ( OM ).

Сначала найдем длину хорды ( PK ). Так как ( PK = PM + MK ), то: [ PK = 7 + 8 = 15 \text{ дм} ]

Теперь применим теорему о произведении отрезков хорды, которая гласит, что произведение длин отрезков, на которые делится хорда точкой, лежащей на этой хорде, постоянно и равно произведению проекций хорды на диаметры, проведенные через эту точку.

В нашем случае: [ PM \cdot MK = 7 \cdot 8 = 56 \text{ дм}^2 ]

Теперь рассмотрим треугольник ( OMP ), где ( O ) — центр окружности, ( M ) — точка на хорде, и ( P ) — одна из концов хорды. В этом треугольнике ( OM ) является перпендикуляром, опущенным из центра окружности на хорду ( PK ).

Обозначим расстояние от точки ( M ) до центра окружности как ( d ). Тогда треугольник ( OMP ) является прямоугольным, и можно применить теорему Пифагора. В этом треугольнике гипотенуза ( OP ) равна радиусу окружности ( R = 9 ) дм, а катет ( PM = 7 ) дм.

По теореме Пифагора: [ OP^2 = OM^2 + PM^2 ] [ 9^2 = d^2 + 7^2 ] [ 81 = d^2 + 49 ] [ d^2 = 81 - 49 ] [ d^2 = 32 ] [ d = \sqrt{32} ] [ d = 4\sqrt{2} \text{ дм} ]

Таким образом, расстояние от точки ( M ) до центра окружности составляет ( 4\sqrt{2} ) дм.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой о перпендикулярности хорды и радиуса, а также теоремой Пифагора.

Итак, пусть центр окружности обозначен как О, а точка пересечения хорды РК с радиусом ОМ. Так как хорда РК делится точкой М на два отрезка, то мы имеем дело с перпендикулярными прямыми. Следовательно, треугольник ОМК является прямоугольным.

По теореме Пифагора для этого треугольника:

(РМ)^2 = (ОМ)^2 + (МК)^2 7^2 = (ОМ)^2 + 8^2 49 = (ОМ)^2 + 64 (ОМ)^2 = 49 - 64 (ОМ)^2 = -15

Так как расстояние всегда положительно, то в данном случае оно равно квадратному корню из 15:

ОМ = √15

Таким образом, расстояние от точки М до центра окружности равно √15 дм.