Хорда, перпендикулярная диаметру, делит его на отрезки, разность которых равна 7 см. Найдите радиус...

Радиус окружности равен 10 см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами окружности и теоремой Пифагора.

Рассмотрим окружность с центром ( O ) и диаметром ( AB ). Пусть хорда ( CD ) перпендикулярна диаметру в точке ( M ), и пусть ( AM = x ) и ( MB = y ). Согласно условию, разность этих отрезков равна 7 см, то есть ( y - x = 7 ).

Поскольку ( CD ) перпендикулярна ( AB ), ( M ) является серединой хорды ( CD ). Значит, ( CM = MD = \frac{24}{2} = 12 ) см.

Теперь применим теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ( \triangle OMC ):

[ OM^2 + CM^2 = OC^2 ]

Поскольку ( O ) — центр окружности, ( OC ) является радиусом. Обозначим радиус окружности как ( R ). Тогда ( OC = R ).

Итак, у нас есть:

[ OM^2 + 12^2 = R^2 ]

Заметим, что ( OM ) является половиной диаметра, следовательно, ( OM = R - x ).

Подставим это в уравнение:

[ (R - x)^2 + 144 = R^2 ]

Раскроем скобки:

[ R^2 - 2Rx + x^2 + 144 = R^2 ]

Сократим на ( R^2 ):

[ -2Rx + x^2 + 144 = 0 ]

Теперь вернемся к условию ( y - x = 7 ). Поскольку ( x + y = 2R ), то:

[ y = x + 7 ]

И:

[ x + (x + 7) = 2R ]

[ 2x + 7 = 2R ]

[ 2x = 2R - 7 ]

[ x = R - \frac{7}{2} ]

Подставим найденное значение ( x ) в уравнение:

[ -2R(R - \frac{7}{2}) + (R - \frac{7}{2})^2 + 144 = 0 ]

Упрощаем:

[ -2R^2 + 7R + R^2 - 7R + \frac{49}{4} + 144 = 0 ]

[ -R^2 + \frac{49}{4} + 144 = 0 ]

[ -R^2 + \frac{625}{4} = 0 ]

[ R^2 = \frac{625}{4} ]

[ R = \frac{25}{2} ]

Таким образом, радиус окружности равен ( \frac{25}{2} ) см, что эквивалентно 12.5 см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться геометрическими свойствами окружности.

Поскольку хорда перпендикулярна диаметру, то она также является высотой треугольника, образованного диаметром и радиусом окружности. Поэтому можем составить прямоугольный треугольник, в котором один из катетов равен половине длины хорды (12 см), а гипотенуза - радиус окружности (r), а второй катет - разность отрезков, на которые делит диаметр хорда (7 см).

Используя теорему Пифагора, получаем следующее уравнение: r^2 = (12^2 + (r - 7)^2)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: r^2 = 144 + r^2 - 14r + 49

Упрощаем уравнение: 0 = 193 - 14r

14r = 193 r = 193 / 14 r ≈ 13,79 см

Таким образом, радиус окружности примерно равен 13,79 см.