Хорда нижнего основания цилиндра удалена от центра нижнего основания на 2 корня из трех и отсекает от окружности основания дугу в 60 градусов.Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов данной хорды, образует с осью цилиндра угол 45 градусов. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства геометрии и формулы для нахождения площади сечения цилиндра.
Обозначим радиус нижнего основания цилиндра как R. Тогда расстояние от центра нижнего основания до хорды (она же отрезок, соединяющий центр верхнего основания с концом хорды) равно 2√3. Также, из условия задачи мы знаем, что хорда отсекает дугу в 60 градусов, что означает, что угол в центре этой дуги равен 120 градусам.
Из геометрических свойств мы можем вывести, что треугольник, образованный отрезком, соединяющим центр верхнего основания с концом хорды, хордой и радиусом, является равносторонним. Таким образом, длина хорды равна 2R.
Теперь мы можем найти площадь осевого сечения цилиндра. Она равна площади треугольника, образованного радиусом и отрезком, соединяющим центр верхнего основания с концом хорды. Площадь треугольника можно найти как S = 0.5 сторона высота. В данном случае сторона равна 2R, а высота равна R. Подставляя значения, получаем S = 0.5 2R R = R^2.
Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра равна R^2.
Для решения задачи начнём с анализа информации о хорде и дуге.
Хорда отсекает дугу в 60 градусов, что означает, что она является стороной правильного шестиугольника, вписанного в окружность основания цилиндра. Радиус окружности ( R ) можно найти, зная, что хорда, отсекающая дугу в 60 градусов, равна стороне шестиугольника и выражается через радиус окружности как ( R = \frac{l}{\sqrt{3}} ), где ( l ) — длина хорды.
Зная, что хорда удалена от центра на ( 2\sqrt{3} ), и используя теорему Пифагора, найдем длину хорды ( l ). Рассмотрим треугольник, образованный радиусом ( R ), расстоянием от центра до хорды ( 2\sqrt{3} ) и половиной хорды ( \frac{l}{2} ). Получаем: [ R^2 = (2\sqrt{3})^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 \Rightarrow R^2 = 12 + \frac{l^2}{4} ] Теперь, подставляя ( R = \frac{l}{\sqrt{3}} ) в данное равенство: [ \left(\frac{l}{\sqrt{3}}\right)^2 = 12 + \frac{l^2}{4} \Rightarrow \frac{l^2}{3} = 12 + \frac{l^2}{4} ] Решая это уравнение для ( l ): [ \frac{l^2}{3} - \frac{l^2}{4} = 12 \Rightarrow \frac{l^2}{12} = 12 \Rightarrow l^2 = 144 \Rightarrow l = 12 ] Таким образом, ( R = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} ).
Теперь рассмотрим отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов хорды. Он образует угол в 45 градусов с осью цилиндра, из чего следует, что высота цилиндра равна радиусу основания, то есть ( h = R = 4\sqrt{3} ).
Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а другая — диаметру основания. Таким образом, площадь осевого сечения ( S ) равна: [ S = h \times 2R = 4\sqrt{3} \times 2 \times 4\sqrt{3} = 96 ]
Итак, площадь осевого сечения цилиндра составляет 96 квадратных единиц.
