К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 24 см, наклонная с плоскостью образует угол 60°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка B.
Расстояние от точки B до плоскости равно
−−−−−√ см
К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 24 см, наклонная с плоскостью образует угол 60°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка B.
Расстояние от точки B до плоскости равно
−−−−−√ см
Для решения данной задачи нам понадобится использовать теорему о расстоянии от точки до плоскости.
Пусть H - точка пересечения наклонной AB с плоскостью α. Тогда треугольник AHB является прямым, так как наклонная AB перпендикулярна плоскости α.
Так как наклонная равна 24 см и угол между наклонной и плоскостью равен 60°, то сторона AH равна 12 см (24 см * sin(60°)). Расстояние от точки B до плоскости α равно длине отрезка BH.
Так как треугольник AHB прямоугольный, мы можем вычислить длину отрезка BH, используя теорему Пифагора:
BH = √(AB^2 - AH^2) = √(24^2 - 12^2) = √(576 - 144) = √432 = 12√3
Таким образом, точка B находится на расстоянии 12√3 см от плоскости α.
Для того чтобы найти расстояние от точки B до плоскости α, нам нужно использовать тригонометрические соотношения. Рассмотрим треугольник, образованный точками A, B и проекцией точки B на плоскость α (обозначим проекцию точки B на плоскость как точку C).
В этом треугольнике:
Применим тригонометрическую функцию синуса для угла 60° в треугольнике ABC, так как синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):
[ \sin(60°) = \frac{BC}{AB} ]
Подставим известные значения:
[ \sin(60°) = \frac{BC}{24} ]
Мы знаем, что (\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}), поэтому уравнение принимает вид:
[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{24} ]
Теперь выразим BC:
[ BC = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ]
Упростим выражение:
[ BC = 12\sqrt{3} ]
Таким образом, расстояние от точки B до плоскости α равно (12\sqrt{3}) см.
