Из вершины прямоугольника на диагональ опущен перпендикуляр, который делит её на отрезки длиной 9см...

Для решения этой задачи необходимо вспомнить некоторые свойства геометрических фигур и тригонометрических функций. Рассмотрим прямоугольник ABCD, где A, B, C и D — его вершины. Пусть диагональ BD делится точкой E перпендикуляром, опущенным из вершины A, на две части: BE = 9 см и ED = 16 см. Нам нужно найти тангенс угла между стороной AB и диагональю BD.

1. Теорема Пифагора и подсчет длины диагонали BD: Так как AE перпендикулярно BD, то треугольник ABE прямоугольный. Мы знаем, что BE = 9 см и AE = h (высота, которую мы пока не знаем). Пусть AB = a, BC = b. Тогда по теореме Пифагора для треугольника ABE: [ AE^2 + BE^2 = AB^2 ] [ h^2 + 9^2 = a^2 ] [ h^2 + 81 = a^2 ]

2. Длина диагонали BD: По теореме Пифагора для треугольника BDE: [ AE^2 + ED^2 = AD^2 ] [ h^2 + 16^2 = (a^2 + b^2) ] [ h^2 + 256 = a^2 + b^2 ]

   Из двух уравнений мы можем найти a^2 и b^2: [ a^2 = h^2 + 81 ] [ b^2 = h^2 + 256 - a^2 = h^2 + 256 - (h^2 + 81) = 175 ]

3. Определение тангенса угла: Тангенс угла между стороной AB и диагональю BD можно найти, используя определение тангенса угла в треугольнике ABE: [ \tan \angle ABD = \frac{AE}{BE} ]

   Мы знаем, что ( BE = 9 ) см, но нам все еще нужно найти AE. Используем наше предыдущее выражение для h: [ b^2 = 175 ] [ b = \sqrt{175} = 5\sqrt{7} ] (поскольку b – одна из сторон прямоугольника)

   Для a: [ a^2 = h^2 + 81 ] [ a^2 = b^2 + 81 = 175 + 81 = 256 ] [ a = 16 ]

   Теперь зная, что AB = 16 и BC = 5\sqrt{7}, можно найти h: [ h^2 + 81 = 256 ] [ h^2 = 175 ] [ h = \sqrt{175} = 5\sqrt{7} ]

   Таким образом: [ \tan \angle ABD = \frac{5\sqrt{7}}{9} ]

Это и есть значение тангенса угла между стороной AB и диагональю BD.

Для решения данной задачи нам необходимо рассмотреть треугольник, образованный меньшей стороной прямоугольника, диагональю и перпендикуляром, опущенным из вершины на диагональ.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна 9 см, а большая сторона равна 16 см. Также обозначим через x длину перпендикуляра. Тогда по теореме Пифагора для треугольника, образованного меньшей стороной, перпендикуляром и диагональю, имеем: [x^2 + 9^2 = 16^2] [x^2 + 81 = 256] [x^2 = 175] [x = \sqrt{175} \approx 13.23 \text{ см}]

Теперь обозначим угол между меньшей стороной и диагональю как α. Тогда тангенс этого угла можно найти как отношение противолежащего катета к прилежащему. В данном случае противолежащий катет равен 9 см, а прилежащий катет равен x ≈ 13.23 см.

Таким образом, тангенс угла α равен: [tg(α) = \frac{9}{\sqrt{175}} \approx 0.682]

Ответ: тангенс угла, образованного меньшей стороной и диагональю прямоугольника, равен примерно 0.682.

Тангенс угла, образованного меньшей стороной и диагональю, равен 9/16.