Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 восстановлен перпендикуляр длиной...

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника, геометрическими соотношениями, а также теоремой Пифагора. Давайте разберем задачу пошагово.

1. Определение гипотенузы треугольника

Прямоугольный треугольник имеет катеты (a = 6) и (b = 8). Длина гипотенузы (c) может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:

[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10. ]

Длина гипотенузы равна (10).

2. Координаты элементов треугольника

Расположим треугольник в декартовой системе координат следующим образом:

• Вершина прямого угла ((A)) находится в начале координат: (A(0, 0)).
• Один катет ((AB)) лежит на оси (x), а другой ((AC)) — на оси (y):
  • (B(6, 0)),
  • (C(0, 8)).

Середина гипотенузы ((M)) будет лежать на середине отрезка (BC). Координаты середины отрезка (BC) можно найти по формуле средней точки: [ M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right). ] Подставляя координаты (B(6, 0)) и (C(0, 8)), получаем: [ M = \left(\frac{6 + 0}{2}, \frac{0 + 8}{2}\right) = (3, 4). ]

Итак, координаты точки (M): (M(3, 4)).

3. Описание перпендикуляра из вершины (A)

Из вершины прямого угла (A(0, 0)) восстановлен перпендикуляр длиной (12). Этот перпендикуляр будет располагаться в пространстве и выходить из плоскости треугольника, так как он направлен перпендикулярно всей плоскости треугольника.

Пусть конец перпендикуляра обозначим точкой (P). Так как перпендикуляр имеет длину (12) и направлен вдоль оси (z), то координаты (P) будут: [ P(0, 0, 12). ]

4. Расстояние от точки (P) до точки (M)

Теперь нужно найти расстояние от точки (P(0, 0, 12)) до точки (M(3, 4, 0)). Используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}. ] Подставляем координаты (P(0, 0, 12)) и (M(3, 4, 0)): [ d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2 + (0 - 12)^2}. ] Вычислим: [ d = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13. ]

Ответ:

Расстояние от конца перпендикуляра до середины гипотенузы равно 13 см.

Использованные теоремы и формулы:

1. Теорема Пифагора для нахождения длины гипотенузы.
2. Формула средней точки для нахождения координат середины отрезка.
3. Формула расстояния между двумя точками в пространстве: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}. ]

Для решения этой задачи начнем с визуализации прямоугольного треугольника. У нас есть прямоугольный треугольник ( ABC ) с прямым углом в вершине ( A ), где катет ( AB = 6 ) см и катет ( AC = 8 ) см. Гипотенуза ( BC ) может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:

[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см}. ]

Теперь найдем координаты вершин треугольника. Предположим, что точка ( A ) находится в начале координат (0, 0), точка ( B ) находится на оси y (0, 6), а точка ( C ) — на оси x (8, 0).

Середина гипотенузы ( BC ) находится по координатам точек ( B(0, 6) ) и ( C(8, 0) ). Середина (M) определяется по формуле:

[ M_x = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{0 + 8}{2} = 4, ] [ M_y = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{6 + 0}{2} = 3. ]

Таким образом, координаты середины гипотенузы ( M(4, 3) ).

Теперь мы восстановим перпендикуляр длиной 12 см. Перпендикуляр будет направлен вертикально вверх от точки ( A(0, 0) ) до точки ( D(0, 12) ).

Теперь нам нужно найти расстояние от точки ( D(0, 12) ) до точки ( M(4, 3) ). Это расстояние можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в координатной плоскости:

[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. ]

Подставляем координаты точек ( D(0, 12) ) и ( M(4, 3) ):

[ d = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 12)^2} = \sqrt{4^2 + (-9)^2} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97}. ]

Таким образом, расстояние от конца перпендикуляра до середины гипотенузы составляет ( \sqrt{97} ) см, что примерно равно 9.85 см.

Эти вычисления основаны на стандартных формулах геометрии и теореме Пифагора.

Для решения задачи сначала найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см. Используем теорему Пифагора:

[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}. ]

Теперь найдем середину гипотенузы. Если обозначить вершину прямого угла как ( A ) (0, 0), одну вершину катета как ( B ) (6, 0), а другую как ( C ) (0, 8), то координаты середины гипотенузы ( M ) будут:

[ M\left(\frac{6+0}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = M(3, 4). ]

Теперь найдем координаты конца перпендикуляра. Если перпендикуляр проведен из точки ( A ) (0, 0) и имеет длину 12 см, то его конец ( D ) будет находиться на оси Y:

[ D(0, 12). ]

Теперь найдем расстояние от точки ( D(0, 12) ) до точки ( M(3, 4) ) по формуле расстояния между двумя точками:

[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 12)^2} = \sqrt{3^2 + (-8)^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}. ]

Таким образом, расстояние от конца перпендикуляра до середины гипотенузы равно ( \sqrt{73} ) см (примерно 8.54 см).