Из точки M,лежащей на окружности с центром O,опущен перпендикуляр MK на диаметр CD.1)Найдите длины хорд DM и CM и перпендикуляра MK,если:DK=18,CK=9.
Из точки M,лежащей на окружности с центром O,опущен перпендикуляр MK на диаметр CD.1)Найдите длины хорд DM и CM и перпендикуляра MK,если:DK=18,CK=9.
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами окружности и теоремой Пифагора. Нам даны следующие условия: точка ( M ) лежит на окружности с центром в точке ( O ), перпендикуляр ( MK ) опущен на диаметр ( CD ), ( DK = 18 ), ( CK = 9 ).
Так как ( CK + DK = CD ), можем найти длину диаметра:
[ CD = CK + DK = 9 + 18 = 27 ]
Поскольку ( CD ) — диаметр окружности, радиус ( R ) равен половине диаметра:
[ R = \frac{CD}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 ]
Поскольку ( MK ) перпендикулярен диаметру ( CD ) и точка ( M ) лежит на окружности, то ( MK ) является высотой треугольника ( CMD ). Треугольник ( CMD ) является прямоугольным с гипотенузой ( CD ).
В прямоугольном треугольнике ( CMD ), где ( MK ) — высота, справедлива теорема Пифагора:
[ CM^2 + MK^2 = MC^2 ]
Поскольку ( M ) лежит на окружности, то ( CM = DM = R ).
Таким образом, ( CM = DM = 13.5 ).
Теперь найдем ( MK ):
[ MK^2 = CM^2 - CK^2 = 13.5^2 - 9^2 ]
Сначала найдем ( 13.5^2 ) и ( 9^2 ):
[ 13.5^2 = 182.25, \quad 9^2 = 81 ]
Теперь подставим в уравнение:
[ MK^2 = 182.25 - 81 = 101.25 ]
Следовательно, длина ( MK ):
[ MK = \sqrt{101.25} \approx 10.06 ]
Таким образом, длина хорд ( DM ) и ( CM ) равна ( 13.5 ), а длина перпендикуляра ( MK ) приблизительно равна ( 10.06 ).
Для решения данной задачи воспользуемся свойствами окружности и прямоугольного треугольника.
По свойству окружности, угол, образованный хордой и касательной, равен половине центрального угла, поэтому угол DOK равен углу DKM. Также, угол DMK - прямой, так как MK - перпендикуляр к CD.
Из прямоугольного треугольника DKM можно выразить длину хорды DM: DK^2 = DM^2 + MK^2 18^2 = DM^2 + MK^2 DM^2 = 18^2 - MK^2
Из прямоугольного треугольника CKM можно выразить длину хорды CM: CK^2 = CM^2 + MK^2 9^2 = CM^2 + MK^2 CM^2 = 9^2 - MK^2
Также, у нас есть соотношение между хордами DM и CM: DM + CM = CD DM + CM = 2OM DM + CM = 2r
Таким образом, нам нужно найти длины хорд DM и CM, а также длину перпендикуляра MK, чтобы подставить их в уравнения и решить систему уравнений.
