Из точки D, принадлежащей гипотенузе АB прямоугольного треугольника ABC, опущен перпендикуляр DE на...

Давайте решим задачу по геометрии и найдем длину перпендикуляра ( DE ), опущенного из точки ( D ), лежащей на гипотенузе ( AB ), на катет ( AC ). Даны:

• ( AE = 16 \, \text{см} ),
• ( EC = 8 \, \text{см} ),
• ( CB = 21 \, \text{см} ).

Шаг 1. Определим длины катетов ( AC ) и ( AB )

Сначала определим длину катета ( AC ). Так как точка ( E ) делит ( AC ) на два отрезка, ( AE ) и ( EC ), то полный катет ( AC ) равен: [ AC = AE + EC = 16 + 8 = 24 \, \text{см}. ]

Теперь найдем длину гипотенузы ( AB ) с использованием теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике ( ABC ), где ( AB ) — гипотенуза, ( AC ) и ( CB ) — катеты, верно: [ AB^2 = AC^2 + CB^2. ] Подставляем значения: [ AB^2 = 24^2 + 21^2 = 576 + 441 = 1017. ] Следовательно: [ AB = \sqrt{1017}. ]

Шаг 2. Определим длину отрезка ( AD ) и ( DB )

Так как точка ( D ) лежит на гипотенузе ( AB ), будем использовать соотношения подобия треугольников. В треугольнике ( ADE ), где ( DE ) — высота, ( AD ) и ( DB ) делятся пропорционально. Но для более удобного решения задачи перейдем к площади треугольника.

Шаг 3 :

Для нахождения длины перпендикуляра DE, опущенного из точки D на катет AC, можно воспользоваться формулой для площади треугольника.

Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

1. Через основание AC и высоту DE: [ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DE ]

2. Через стороны AB и BC: Сначала найдем длину катета AC: [ AC = AE + EC = 16 \, \text{см} + 8 \, \text{см} = 24 \, \text{см} ]

Теперь найдем длину гипотенузы AB с использованием теоремы Пифагора: [ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 21^2} = \sqrt{576 + 441} = \sqrt{1017} ]

Теперь найдем площадь треугольника ABC через стороны: [ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 21 = 252 \, \text{см}^2 ]

Теперь приравняем два выражения для площади: [ \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DE = 252 ]

Подставим ( AC = 24 ): [ \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot DE = 252 ]

Решим уравнение: [ 12 \cdot DE = 252 ] [ DE = \frac{252}{12} = 21 \, \text{см} ]

Таким образом, длина перпендикуляра DE равна 21 см.

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C является прямым. Даны следующие длины:

• ( AE = 16 ) см (где E — проекция точки D на катет AC),
• ( EC = 8 ) см,
• ( CB = 21 ) см.

Сначала найдем длину катета AC:

[ AC = AE + EC = 16 \, \text{см} + 8 \, \text{см} = 24 \, \text{см}. ]

Теперь мы имеем стороны треугольника ABC: ( AC = 24 \, \text{см} ) и ( CB = 21 \, \text{см} ). Нам нужно найти длину гипотенузы AB. Для этого применим теорему Пифагора:

[ AB^2 = AC^2 + CB^2. ]

Подставим известные значения:

[ AB^2 = 24^2 + 21^2 = 576 + 441 = 1017. ]

Теперь найдем длину гипотенузы AB:

[ AB = \sqrt{1017} \approx 31.87 \, \text{см}. ]

Теперь, чтобы найти длину перпендикуляра DE, воспользуемся формулой для нахождения высоты (перпендикуляра) из вершины прямоугольного треугольника на гипотенузу. Длина высоты ( h ) может быть найдена по формуле:

[ h = \frac{AC \cdot CB}{AB}. ]

Подставим известные значения:

[ h = \frac{24 \cdot 21}{\sqrt{1017}}. ]

Сначала найдем произведение:

[ 24 \cdot 21 = 504. ]

Теперь подставим это значение в формулу:

[ h = \frac{504}{\sqrt{1017}}. ]

Теперь найдем значение ( \sqrt{1017} ):

[ \sqrt{1017} \approx 31.87 \, \text{см}. ]

Теперь подставим это значение:

[ h \approx \frac{504}{31.87} \approx 15.78 \, \text{см}. ]

Таким образом, длина перпендикуляра DE составляет примерно ( 15.78 ) см.