Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, один из катетов равен 5. Найдите второй катет, высоту,...

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Имеем уравнение: (13^2 = 5^2 + x^2), где x - длина второго катета.

Решая данное уравнение, получаем: (169 = 25 + x^2), (x^2 = 144), (x = 12).

Таким образом, второй катет равен 12.

Для нахождения высоты, проведенной из вершины прямого угла, воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, является вторым катетом. Следовательно, высота равна 12.

Чтобы найти отрезки, на которые высота делит гипотенузу, воспользуемся подобием треугольников. По свойству подобных треугольников, отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны произведениям катетов, на которые эта высота проведена. Таким образом, отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны (5 \cdot 12 = 60) и (12 \cdot 13 = 156).

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами прямоугольного треугольника.

1. Найдем второй катет.

   В прямоугольном треугольнике, согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Обозначим второй катет через ( b ). Тогда:

   [ 13^2 = 5^2 + b^2 ]

   [ 169 = 25 + b^2 ]

   [ b^2 = 169 - 25 = 144 ]

   [ b = \sqrt{144} = 12 ]

   Таким образом, второй катет равен 12.

2. Найдем высоту, проведённую из вершины прямого угла на гипотенузу.

   Высота ( h ), проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, может быть найдена через произведение длин катетов, деленное на гипотенузу:

   [ h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} ]

   Таким образом, высота равна (\frac{60}{13}).

3. Найдем отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

   Высота, проведённая к гипотенузе, делит её на два отрезка, которые называются проекциями катетов на гипотенузу. Обозначим эти отрезки через ( m ) и ( n ), где ( m ) — проекция катета, равного 5, а ( n ) — проекция катета, равного 12.

   Можно использовать формулу:

   [ m = \frac{a^2}{c} = \frac{5^2}{13} = \frac{25}{13} ]

   [ n = \frac{b^2}{c} = \frac{12^2}{13} = \frac{144}{13} ]

   Проверим, что сумма отрезков равна гипотенузе:

   [ m + n = \frac{25}{13} + \frac{144}{13} = \frac{169}{13} = 13 ]

   Таким образом, отрезки равны (\frac{25}{13}) и (\frac{144}{13}).

В итоге, второй катет равен 12, высота равна (\frac{60}{13}), а гипотенуза делится на отрезки, равные (\frac{25}{13}) и (\frac{144}{13}).