Если одна из сторон треугольника на 3 см меньше другой , высота делит третью сторону на отрезки 5 см...

Рассмотрим задачу и разберем её по шагам.

Условие

У нас есть треугольник, в котором:

1. Одна из сторон на 3 см меньше другой.
2. Высота, проведённая к третьей стороне, делит эту третью сторону на два отрезка длиной 5 см и 10 см.

Необходимо найти периметр треугольника.

Обозначения

Пусть:

• ( AB ) — третья сторона треугольника, к которой проведена высота. Из условия она разделена на части ( 5 \, \text{см} ) и ( 10 \, \text{см} ), следовательно, ( AB = 5 + 10 = 15 \, \text{см} ).
• ( AC ) — одна из сторон треугольника, длина которой больше второй стороны ( BC ) на ( 3 \, \text{см} ). То есть ( AC = BC + 3 ).
• ( h ) — высота, проведённая из вершины ( C ) к стороне ( AB ).

Ход решения

Теперь разберёмся с треугольником. Высота ( h ) делит третью сторону ( AB ) на два отрезка: ( 5 \, \text{см} ) и ( 10 \, \text{см} ). Это означает, что высота проходит через точку ( M ), которая делит сторону ( AB ) на части ( AM = 5 \, \text{см} ) и ( MB = 10 \, \text{см} ).

Высота ( h ) образует два прямоугольных треугольника:

1. ( \triangle AMC ), где гипотенуза ( AC ), катеты ( AM = 5 \, \text{см} ) и ( h ).
2. ( \triangle BMC ), где гипотенуза ( BC ), катеты ( BM = 10 \, \text{см} ) и ( h ).

Используем теорему Пифагора

Для треугольника ( \triangle AMC ): [ AC^2 = AM^2 + h^2. ] Подставим ( AM = 5 ): [ AC^2 = 5^2 + h^2. ] [ AC^2 = 25 + h^2. \tag{1} ]

Для треугольника ( \triangle BMC ): [ BC^2 = BM^2 + h^2. ] Подставим ( BM = 10 ): [ BC^2 = 10^2 + h^2. ] [ BC^2 = 100 + h^2. \tag{2} ]

Связь между ( AC ) и ( BC )

По условию задачи, ( AC = BC + 3 ). Возведём это равенство в квадрат: [ AC^2 = (BC + 3)^2. ] Раскроем скобки: [ AC^2 = BC^2 + 6BC + 9. \tag{3} ]

Подставим ( AC^2 ) и ( BC^2 ) из (1) и (2) в (3)

Подставим выражения для ( AC^2 ) и ( BC^2 ) в уравнение (3): [ 25 + h^2 = 100 + h^2 + 6BC + 9. ] Сократим ( h^2 ) и упростим: [ 25 = 109 + 6BC. ] [ 6BC = 25 - 109. ] [ 6BC = -84. ] [ BC =

Давайте обозначим стороны треугольника следующим образом:

• Пусть ( a ) — одна сторона треугольника.
• Пусть ( b ) — другая сторона треугольника. По условию задачи, одна сторона на 3 см меньше другой, то есть можно записать: ( a = b - 3 ).
• Пусть ( c ) — третья сторона треугольника.

Высота, проведенная из вершины, противоположной стороне ( c ), делит сторону ( c ) на два отрезка: 5 см и 10 см. Таким образом, длина стороны ( c ) равна: [ c = 5 + 10 = 15 \text{ см}. ]

Теперь нам нужно найти значения ( a ) и ( b ). Для этого используем теорему о высоте в треугольнике, проведенной к стороне ( c ). Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников мы можем использовать теорему Пифагора.

Обозначим высоту как ( h ). Мы знаем, что высота ( h ) делит сторону ( c ) на отрезки 5 см и 10 см. Поскольку из вершины, противоположной стороне ( c ), проведена высота, то мы можем использовать прямоугольные треугольники:

1. В первом прямоугольном треугольнике с катетами ( 5 ) см и ( h ): [ a^2 = 5^2 + h^2 \implies a^2 = 25 + h^2. \tag{1} ]

2. Во втором прямоугольном треугольнике с катетами ( 10 ) см и ( h ): [ b^2 = 10^2 + h^2 \implies b^2 = 100 + h^2. \tag{2} ]

Теперь подставим ( b = a + 3 ) в уравнение (2): [ (a + 3)^2 = 100 + h^2. ] Раскроем скобки: [ a^2 + 6a + 9 = 100 + h^2. ]

Теперь подставим уравнение (1) в это уравнение, выразив ( h^2 ): [ h^2 = a^2 - 25. ] Подставим это значение в уравнение: [ a^2 + 6a + 9 = 100 + (a^2 - 25). ] Упрощаем: [ a^2 + 6a + 9 = 100 + a^2 - 25, ] [ 6a + 9 = 75, ] [ 6a = 66, ] [ a = 11 \text{ см}. ]

Теперь найдем ( b ): [ b = a + 3 = 11 + 3 = 14 \text{ см}. ]

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника:

• ( a = 11 \text{ см} ),
• ( b = 14 \text{ см} ),
• ( c = 15 \text{ см} ).

Теперь можем вычислить периметр треугольника: [ P = a + b + c = 11 + 14 + 15 = 40 \text{ см}. ]

Таким образом, периметр треугольника равен 40 см.