Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен 60. найдите площадь боковой поверхности...

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой для площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле: S = (1/2) периметр основания апофема.

Для начала найдем периметр основания треугольной пирамиды. Так как угол при основании равен 60 градусов и это правильная треугольная пирамида, то каждый угол основания равен 60 градусов. Значит, периметр основания равен 3 * сторона треугольника.

Далее найдем высоту пирамиды. Так как расстояние от середины высоты до апофемы равно 3 см, то высота равна 2 * 3 = 6 см.

Теперь найдем апофему. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 6 см, гипотенуза (апофема) равна sqrt(3^2 + 6^2) = sqrt(9 + 36) = sqrt(45) = 3sqrt(5) см.

Теперь можем найти периметр основания: 3 сторона = 3 a, где a - длина стороны треугольника.

Так как угол при основании равен 60 градусов, то в правильном треугольнике каждый угол равен 60 градусов. Из этого следует, что сторона треугольника равна 3см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды: S = (1/2) 3 3 3sqrt(5) = 13.5 sqrt(5) см^2.

Итак, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 13.5 * sqrt(5) квадратных сантиметров.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна 27√3 см².

Для решения задачи о площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, в которой двугранный угол при основании равен 60°, а расстояние от середины высоты пирамиды до её апофемы равно 3 см, следует проделать несколько шагов.

1. Определение ключевых элементов:

   • Поскольку пирамида правильная треугольная, её основание является правильным треугольником.
   • Двугранный угол между боковыми гранями при основании равен 60°.
   • Высота пирамиды (h) делится на две части серединой основания треугольника.
   • Расстояние от середины высоты пирамиды до её апофемы равно 3 см. Это расстояние перпендикулярно высоте пирамиды и апофеме.

2. Апофема пирамиды: Апофема правильной треугольной пирамиды — это высота боковой грани, опущенная на сторону основания. Обозначим её как (l).

3. Высота правильного треугольника в основании: Пусть сторона основания треугольника равна (a). Высота правильного треугольника выражается как: [ h_{\text{осн}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} ]

4. Основная высота пирамиды (h): Воспользуемся тем, что в треугольной пирамиде высота (h) соединяет вершину пирамиды с центром основания (центр окружности, описанной около основания). Этот центр для правильного треугольника находится на высоте: [ \frac{h_{\text{осн}}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6} ]

5. Апофема (l) и геометрические связи: Зная двугранный угол 60°, можно использовать треугольник, образованный половиной высоты пирамиды, апофемой и высотой основания. Этот треугольник будет прямоугольным. Если обозначить половину высоты пирамиды как (h/2), то из условия и расстояния от середины высоты до апофемы: [ \left( \frac{h}{2} \right)^2 + 3^2 = l^2 ]

6. Высота пирамиды (h): Из треугольника с углом 60°: [ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{h}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{3h} ] Отсюда: [ h = \frac{a}{\sqrt{3}} ]

7. Апофема (l): Подставим (h = \frac{a}{\sqrt{3}}) в формулу для апофемы: [ \left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right)^2 + 3^2 = l^2 ] [ \frac{a^2}{12} + 9 = l^2 ]

8. Выражение (a): Найдём связь между длиной стороны основания (a) и апофемой: [ l = \sqrt{\frac{a^2}{12} + 9} ]

9. Площадь боковой поверхности (S_{\text{бок}}): Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из трёх одинаковых треугольников с основанием (a) и высотой (l). [ S_{\text{бок}} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{3}{2} \cdot a \cdot l ]

10. Итог: Для нахождения точной площади боковой поверхности, необходимо решить систему уравнений относительно (a) и подставить (a) и (l) в формулу площади: [ l = \sqrt{\frac{a^2}{12} + 9} ] [ S_{\text{бок}} = \frac{3}{2} \cdot a \cdot \sqrt{\frac{a^2}{12} + 9} ]

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды можно найти, выразив сторону основания через известные параметры и подставив в итоговую формулу.