Две стороны треугольника равны 7 и 8, а синус угла между ними 4√3/7. Найти третью сторону треугольника.

Используем формулу синусов для нахождения третьей стороны треугольника: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C), где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - соответствующие углы.

Так как нам даны две стороны треугольника и синус угла между ними, можем найти третью сторону: c/sin(C) = 8/4√3/7, c = 8 sin(C) / 4√3/7, c = 8 7 / 4√3, c = 14√3.

Ответ: третья сторона треугольника равна 14√3.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой косинусов.

Пусть третья сторона треугольника равна (c), а угол между сторонами (a = 7) и (b = 8) равен (\theta).

Тогда по теореме косинусов имеем:

[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)]

Подставляем известные значения:

[c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(\theta)]

Так как у нас дан синус угла, а не косинус, воспользуемся тригонометрической формулой (\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1), чтобы найти косинус:

[\cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \sqrt{1 - (\frac{4\sqrt{3}}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{48}{49}} = \sqrt{\frac{1}{49}} = \frac{1}{7}]

Подставляем значение косинуса в уравнение:

[c^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{1}{7} = 113]

Итак, третья сторона треугольника равна (\sqrt{113}) или примерно 10.63.

Для нахождения третьей стороны треугольника, когда известны две стороны и синус угла между ними, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Хотя у нас дан синус угла, мы можем сначала найти косинус этого угла, а затем применить теорему косинусов.

Обозначим стороны треугольника ( a = 7 ), ( b = 8 ), а угол между ними ( \angle C ). Синус угла ( \angle C ) дан как ( \sin C = \frac{4\sqrt{3}}{7} ).

Сначала найдем косинус угла ( \angle C ). Используем основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 C + \cos^2 C = 1 ]

Подставляем данное значение синуса:

[ \left(\frac{4\sqrt{3}}{7}\right)^2 + \cos^2 C = 1 ]

[ \frac{48}{49} + \cos^2 C = 1 ]

[ \cos^2 C = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49} ]

[ \cos C = \pm \frac{1}{7} ]

Теперь используем теорему косинусов для нахождения третьей стороны ( c ):

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C ]

Подставляем известные значения:

[ c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \times \cos C ]

Рассмотрим оба случая для (\cos C = \frac{1}{7}) и (\cos C = -\frac{1}{7}):

1. Если (\cos C = \frac{1}{7}):

[ c^2 = 49 + 64 - 2 \times 7 \times 8 \times \frac{1}{7} ]

[ c^2 = 113 - 16 ]

[ c^2 = 97 ]

[ c = \sqrt{97} ]

1. Если (\cos C = -\frac{1}{7}):

[ c^2 = 49 + 64 - 2 \times 7 \times 8 \times \left(-\frac{1}{7}\right) ]

[ c^2 = 113 + 16 ]

[ c^2 = 129 ]

[ c = \sqrt{129} ]

Поскольку значение косинуса может быть положительным или отрицательным в зависимости от острого или тупого угла, необходимо учитывать оба варианта. Таким образом, в зависимости от угла между сторонами, третья сторона треугольника может быть либо (\sqrt{97}), либо (\sqrt{129}).