Две стороны треугольника равны 4см и 7 см , а косинус угла между ними равен-(2/7).Определите синусы...

Для начала определим длину третьей стороны треугольника, используя теорему косинусов. Пусть стороны треугольника равны (a = 4) см, (b = 7) см, а (c) — искомая третья сторона. Угол между сторонами (a) и (b) обозначим как (\gamma), и по условию (\cos \gamma = -\frac{2}{7}).

Теорема косинусов утверждает, что: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma ] [ c^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{2}{7}\right) ] [ c^2 = 16 + 49 + 16 ] [ c^2 = 81 ] [ c = 9 ] см.

Теперь определим синус угла (\gamma). Поскольку мы знаем косинус угла, можем использовать тождество (\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1): [ \sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma ] [ \sin^2 \gamma = 1 - \left(-\frac{2}{7}\right)^2 ] [ \sin^2 \gamma = 1 - \frac{4}{49} ] [ \sin^2 \gamma = \frac{45}{49} ] [ \sin \gamma = \sqrt{\frac{45}{49}} = \frac{3\sqrt{5}}{7} ]

Теперь найдем синусы оставшихся углов треугольника ((\alpha) и (\beta)), лежащих против сторон (b) и (a) соответственно. Для этого используем теорему синусов: [ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} ] [ \frac{4}{\sin \alpha} = \frac{7}{\sin \beta} = \frac{9}{\frac{3\sqrt{5}}{7}} ] [ \frac{4}{\sin \alpha} = \frac{7}{\sin \beta} = \frac{63}{3\sqrt{5}} = \frac{21}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{21\sqrt{5}}{5} ]

Для (\alpha): [ \sin \alpha = \frac{4 \cdot 5}{21\sqrt{5}} = \frac{20}{21\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{21 \cdot 5} = \frac{4\sqrt{5}}{21} ]

Для (\beta): [ \sin \beta = \frac{7 \cdot 5}{21\sqrt{5}} = \frac{35}{21\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{35\sqrt{5}}{21 \cdot 5} = \frac{7\sqrt{5}}{21} = \frac{\sqrt{5}}{3} ]

Таким образом, синусы углов треугольника равны: [ \sin \alpha = \frac{4\sqrt{5}}{21}, \sin \beta = \frac{\sqrt{5}}{3}, \sin \gamma = \frac{3\sqrt{5}}{7} ]

Для начала найдем третью сторону треугольника по формуле косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C) c^2 = 4^2 + 7^2 - 2 4 7 (-2/7) c^2 = 16 + 49 + 56 c^2 = 121 c = 11

Теперь найдем синусы углов треугольника: sin(A) = a/c = 4/11 sin(B) = b/c = 7/11 sin(C) = sqrt(1 - cos^2(C)) = sqrt(1 - (-2/7)^2) = sqrt(1 - 4/49) = sqrt(45/49) = 3/7

Таким образом, синусы углов данного треугольника равны sin(A) = 4/11, sin(B) = 7/11, sin(C) = 3/7, а третья сторона равна 11 см.

Сначала найдем третью сторону треугольника с помощью теоремы косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C) c^2 = 4^2 + 7^2 - 2 4 7 (-2/7) c = √(16 + 49 + 56) c = √121 c = 11 см

Теперь найдем синусы углов: sin(A) = a / c = 4 / 11 sin(B) = b / c = 7 / 11 sin(C) = √(1 - cos^2(C)) = √(1 - (-2/7)^2) = √(1 - 4/49) = √(45/49) = √45 / 7