Две стороны треугольника равны 4 см и 8 см,а угол между ними 60 градусов.Найдите третью сторону треугольника...

Для решения задачи о нахождении третьей стороны треугольника и его площади, когда известны две стороны и угол между ними, воспользуемся теоремой косинусов и формулой для площади треугольника через две стороны и угол между ними.

Нахождение третьей стороны

Обозначим стороны треугольника как $a=4$ см, $b=8$ см, и угол между ними $\gamma ={60}^{\circ }$. Пусть третья сторона треугольника будет $c$.

Согласно теореме косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (\gamma )$

Подставим известные значения: $c^2=4^2+8^2-2\cdot 4\cdot 8\cdot \cos ({60}^{\circ })$

Зная, что $\cos ({60}^{\circ }$ = \frac{1}{2} ), упростим выражение: $c^2=16+64-2\cdot 4\cdot 8\cdot \frac{1}{2}$ $c^2=16+64-32$ $c^2=48$ $c=\sqrt{48}$ $c=4\sqrt{3}$

Нахождение площади треугольника

Для нахождения площади $S$ треугольника можно использовать формулу: $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin (\gamma )$

Подставим известные значения: $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8\cdot \sin ({60}^{\circ })$

Зная, что $\sin ({60}^{\circ }$ = \frac{\sqrt{3}}{2} ), упростим выражение: $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $S=16\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $S=8\sqrt{3}$

Ответ

Третья сторона треугольника равна $4\sqrt{3}$ см. Площадь треугольника составляет $8\sqrt{3}$ квадратных сантиметров.

Для нахождения третьей стороны треугольника можно использовать закон косинусов. По формуле:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos$60°$

где c - третья сторона треугольника, a и b - известные стороны $4сми8смсоответственно$.

Подставляя известные значения, получаем:

c^2 = 4^2 + 8^2 - 248cos$60°$ c^2 = 16 + 64 - 64 0.5 c^2 = 80 - 32 c^2 = 48 c = √48 c ≈ 6.93 см

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, можно воспользоваться формулой Герона:

S = √(p $p-a$ $p-b$ * $p-c$)

где p - полупериметр треугольника, равный полусумме всех сторон $a+b+c$ / 2.

Подставляя известные значения, получаем:

p = $4+8+6.93$ / 2 p = 9.93

S = √(9.93 $9.93-4$ $9.93-8$ $9.93-6.93$) S = √(9.93 5.93 1.93 3) S = √$349.025$ S ≈ 18.68 см^2

Таким образом, третья сторона треугольника равна примерно 6.93 см, а его площадь составляет примерно 18.68 квадратных сантиметров.