Две стороны треугольника равны 4 см и 8 см,а угол между ними 60 градусов.Найдите третью сторону треугольника...

Для решения задачи о нахождении третьей стороны треугольника и его площади, когда известны две стороны и угол между ними, воспользуемся теоремой косинусов и формулой для площади треугольника через две стороны и угол между ними.

Нахождение третьей стороны

Обозначим стороны треугольника как ( a = 4 ) см, ( b = 8 ) см, и угол между ними ( \gamma = 60^\circ ). Пусть третья сторона треугольника будет ( c ).

Согласно теореме косинусов: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) ]

Подставим известные значения: [ c^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) ]

Зная, что ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ), упростим выражение: [ c^2 = 16 + 64 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} ] [ c^2 = 16 + 64 - 32 ] [ c^2 = 48 ] [ c = \sqrt{48} ] [ c = 4\sqrt{3} ]

Нахождение площади треугольника

Для нахождения площади ( S ) треугольника можно использовать формулу: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) ]

Подставим известные значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) ]

Зная, что ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), упростим выражение: [ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ S = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ S = 8\sqrt{3} ]

Ответ

Третья сторона треугольника равна ( 4\sqrt{3} ) см. Площадь треугольника составляет ( 8\sqrt{3} ) квадратных сантиметров.

Для нахождения третьей стороны треугольника можно использовать закон косинусов. По формуле:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(60°)

где c - третья сторона треугольника, a и b - известные стороны (4 см и 8 см соответственно).

Подставляя известные значения, получаем:

c^2 = 4^2 + 8^2 - 248cos(60°) c^2 = 16 + 64 - 64 0.5 c^2 = 80 - 32 c^2 = 48 c = √48 c ≈ 6.93 см

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, можно воспользоваться формулой Герона:

S = √(p (p - a) (p - b) * (p - c))

где p - полупериметр треугольника, равный полусумме всех сторон (a + b + c) / 2.

Подставляя известные значения, получаем:

p = (4 + 8 + 6.93) / 2 p = 9.93

S = √(9.93 (9.93 - 4) (9.93 - 8) (9.93 - 6.93)) S = √(9.93 5.93 1.93 3) S = √(349.025) S ≈ 18.68 см^2

Таким образом, третья сторона треугольника равна примерно 6.93 см, а его площадь составляет примерно 18.68 квадратных сантиметров.