Два взаимно перпендикулярных сечения равноудалены от центра при этом центр сферы находится на расстоянии...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства перпендикулярных сечений сферы.

Пусть данная сфера имеет центр O, хорда равна 6 см и перпендикулярные сечения AB и CD равноудалены от центра O. Пусть точка M - общая точка хорды и центра сферы.

Так как AB и CD перпендикулярны, то треугольники OMA и OMB, а также треугольники OMC и OMD равны между собой по двум сторонам и углу между ними.

Так как OM равноудалено от AB и CD, то OM - медиана треугольника MCD и треугольника MAB. Следовательно, MO является высотой этих треугольников, а значит, то их площади будут равны.

Площадь треугольника MCD равна (1/2)MDCD, а площадь треугольника MAB равна (1/2)MAAB.

Так как MD = MA = 4√2 см и CD = AB = 6 см, то площади треугольников MCD и MAB равны 48 кв.см.

Так как площади треугольников равны, то и площади сферы также равны 48 кв.см.

Итак, площадь сферы равна 48 кв.см.

Рассмотрим данную задачу. У нас есть сфера, через которую проходят два взаимно перпендикулярных сечения. Эти сечения имеют общую хорду длиной 6 см. Центр сферы находится на расстоянии (4\sqrt{2}) см от этой хорды. Необходимо найти площадь поверхности сферы.

1. Определение центра и радиуса сферы:

   • Пусть (O) — центр сферы и (P) — центр хорды. Из условия известно, что расстояние от (O) до (P) равно (4\sqrt{2}) см.
   • Хорда равна 6 см, значит её половина равна 3 см. Пусть (C) и (D) — концы хорды, и (M) — середина хорды (CD).

2. Использование геометрии:

   • В треугольнике (OCP), где (OM) перпендикулярно хорде (CD) и (CM = 3) см.
   • По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника (OMC), имеем: [ OM^2 + MC^2 = OC^2 ] Подставим значения: [ OM^2 + 3^2 = OC^2 ]

3. Радиус сферы:

   • Так как (OP = 4\sqrt{2}), и (OM) также является высотой треугольника (OPM), мы можем использовать теорему Пифагора ещё раз: [ OM^2 + (4\sqrt{2})^2 = OP^2 ]
   • Подставим значения и выразим (OM^2): [ OM^2 + 32 = OP^2 ]

4. Сравнение уравнений:

   • Из двух уравнений выше мы имеем: [ OC^2 = OP^2 - 32 ] [ OC^2 = OM^2 + 9 ]
   • Приравняем: [ OP^2 - 32 = OM^2 + 9 ]
   • Решим уравнение: [ OP^2 = OM^2 + 41 ] [ OM^2 = OP^2 - 32 ] [ OP^2 - 32 = OM^2 + 9 ]
   • Выразим (OM^2): [ OM^2 = 25 ]

5. Радиус сферы:

   • (OM^2 = 25), значит (OM = 5) см.
   • (OC^2 = OM^2 + 9 = 25 + 9 = 34).
   • Следовательно, радиус сферы (R = \sqrt{34}).

6. Нахождение площади сферы:

   • Площадь поверхности сферы определяется формулой: [ S = 4\pi R^2 ]
   • Подставим значение радиуса: [ S = 4\pi \times 34 = 136\pi ]

Таким образом, площадь сферы равна (136\pi) квадратных сантиметров.

Для нахождения площади сферы воспользуемся формулой S = 4πR^2, где R - радиус сферы. Из условия задачи мы знаем, что центр сферы находится на расстоянии 4√2 см от общей точки хорды, а длина хорды равна 6 см. По теореме Пифагора можем найти радиус сферы: R = √(4√2)^2 + (6/2)^2 = √32 + 9 = √41 Теперь можем найти площадь сферы: S = 4π(√41)^2 = 4π*41 = 164π см^2.