Два равнобедренных треугольника ABC и ABD с общим основанием AB расположены так, что точка C не лежит...

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть геометрическую конфигурацию и свойства медиан в треугольниках.

У нас есть два равнобедренных треугольника: ( \triangle ABC ) и ( \triangle ABD ), с общим основанием ( AB ). Точка ( C ) не лежит в плоскости треугольника ( ABD ), что означает, что ( C ) находится вне плоскости, образованной точками ( A ), ( B ), и ( D ).

Нам нужно определить взаимное расположение прямых, содержащих медианы ( CM ) и ( DN ), где ( M ) и ( N ) — середины сторон ( BC ) и ( BD ) соответственно.

Решение:

1. Плоскости треугольников:

   • Треугольник ( \triangle ABC ) лежит в одной плоскости, назовем её ( \alpha ).
   • Треугольник ( \triangle ABD ) лежит в другой плоскости, назовем её ( \beta ).

   Поскольку точка ( C ) не лежит в плоскости ( \beta ), плоскости ( \alpha ) и ( \beta ) не совпадают.

2. Расположение медиан:

   • Прямая ( CM ) лежит в плоскости ( \alpha ), поскольку ( M ) — это середина отрезка ( BC ), и обе точки ( B ) и ( C ) принадлежат плоскости ( \alpha ).
   • Прямая ( DN ) лежит в плоскости ( \beta ), поскольку ( N ) — это середина отрезка ( BD ), и обе точки ( B ) и ( D ) принадлежат плоскости ( \beta ).

3. Анализ взаимного расположения прямых:

   • Поскольку прямые ( CM ) и ( DN ) лежат в разных плоскостях (( \alpha ) и ( \beta )), они не могут пересекаться.
   • Они также не могут быть параллельны, так как для параллельности двух прямых необходимо, чтобы они лежали в одной плоскости.

Таким образом, единственный оставшийся вариант — это то, что прямые ( CM ) и ( DN ) скрещиваются.

Ответ:

2) они скрещиваются.

Посмотрим на рисунок:

      B
     / \
    /   \
   /     \
  A-------D
   \     /
    \   /
     \ /
      C

Медиана треугольника ABC, проведенная к стороне BC, будет пересекать сторону BC в точке E, так что BE = EC. Точка E будет серединой стороны BC. Аналогично для треугольника ABD, медиана проведенная к стороне BD будет пересекать сторону BD в точке F, так что BF = FD.

Теперь рассмотрим медианы:

• Медиана треугольника ABC, проведенная к стороне BC, проходит через точку C и середину стороны BC (точку E). Следовательно, прямая, содержащая эту медиану, будет проходить через точки C и E.
• Медиана треугольника ABD, проведенная к стороне BD, проходит через точку D и середину стороны BD (точку F). Следовательно, прямая, содержащая эту медиану, будет проходить через точки D и F.

Таким образом, прямые, содержащие медианы треугольника ABC и ABD, проведенные к сторонам BC и BD соответственно, пересекаются в точке D. Ответ: 3) пересекаются.