два парохода начинают движение из одного и того же пункта и двигаются равномерно по прямым, пересекающимся под углом 60 градусов. скорость первого 60 км/ч, скорость второго 70 км/ч. вычислить на каком расстоянии они будут находится через 3 часа.
два парохода начинают движение из одного и того же пункта и двигаются равномерно по прямым, пересекающимся под углом 60 градусов. скорость первого 60 км/ч, скорость второго 70 км/ч. вычислить на каком расстоянии они будут находится через 3 часа.
Для решения этой задачи можно воспользоваться векторным методом и тригонометрией.
Определим положение пароходов через 3 часа:
Первый пароход движется со скоростью 60 км/ч. Через 3 часа он пройдет расстояние: [ S_1 = 60 \, \text{км/ч} \times 3 \, \text{ч} = 180 \, \text{км} ]
Второй пароход движется со скоростью 70 км/ч. Через 3 часа он пройдет расстояние: [ S_2 = 70 \, \text{км/ч} \times 3 \, \text{ч} = 210 \, \text{км} ]
Построим векторы перемещения:
Пусть первый пароход движется вдоль положительного направления оси ( x ). Тогда его вектор перемещения будет (\vec{r_1} = (180, 0)).
Второй пароход движется под углом 60 градусов к первому. Поэтому его вектор перемещения (\vec{r_2}) можно разложить на компоненты: [ \vec{r_2} = (210 \cos 60^\circ, 210 \sin 60^\circ) ]
Зная, что (\cos 60^\circ = \frac{1}{2}) и (\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}), получаем: [ \vec{r_2} = \left(210 \times \frac{1}{2}, 210 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = (105, 105\sqrt{3}) ]
Найдем расстояние между пароходами через 3 часа:
Разность векторов перемещения (\vec{d} = \vec{r_2} - \vec{r_1}): [ \vec{d} = (105 - 180, 105\sqrt{3} - 0) = (-75, 105\sqrt{3}) ]
Теперь найдем модуль этого вектора, который даст нам искомое расстояние: [ |\vec{d}| = \sqrt{(-75)^2 + (105\sqrt{3})^2} ]
[ = \sqrt{5625 + 11025 \times 3} ]
[ = \sqrt{5625 + 33075} ]
[ = \sqrt{38700} ]
[ = \sqrt{3 \times 12900} = \sqrt{3} \times \sqrt{12900} ]
[ \approx 10\sqrt{129} ]
[ \approx 196.47 \, \text{км} ]
Таким образом, через 3 часа пароходы будут находиться на расстоянии приблизительно 196.47 км друг от друга.
Для решения данной задачи нам необходимо использовать геометрический подход. Посмотрим на движение пароходов в течение 3 часов.
Первый пароход за 3 часа пройдет расстояние 60 3 = 180 км, а второй пароход - 70 3 = 210 км.
Теперь нарисуем треугольник ABC, где AB - путь, пройденный первым пароходом, BC - путь, пройденный вторым пароходом, а угол BAC равен 60 градусов.
Мы знаем, что угол BAC равен 60 градусов, а стороны AB и BC равны 180 и 210 км соответственно. Теперь можем воспользоваться теоремой косинусов для нахождения стороны AC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC * cos(60)
AC = sqrt(180^2 + 210^2 - 2 180 210 cos(60)) = sqrt(32400 + 44100 - 75600 0.5) = sqrt(32400 + 44100 - 37800) = sqrt(38700) ≈ 196.93 км.
Таким образом, через 3 часа пароходы будут находиться на расстоянии примерно 196.93 км друг от друга.
