Докажите следствие: Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна...

Пусть прямая k перпендикулярна прямой l и параллельна прямой m. Так как прямая k перпендикулярна прямой l, то угол между ними равен 90 градусов. Поскольку прямая m параллельна прямой l, то угол между прямыми k и m также равен 90 градусов. Следовательно, прямая k перпендикулярна и прямой m.

Для доказательства данного следствия можно воспользоваться свойством параллельных прямых. Пусть даны две параллельные прямые ( l ) и ( m ), а также прямая ( n ), перпендикулярная к прямой ( l ).

Так как прямые ( l ) и ( m ) параллельны, то углы, образованные перпендикулярной прямой ( n ) с этими прямыми, будут равны (по свойству параллельных прямых).

Предположим, что прямая ( n ) не перпендикулярна к прямой ( m ). Тогда у нас существует точка ( A ) на прямой ( m ), такая, что угол ( \angle AOB ) (где ( O ) - точка пересечения прямых ( l ) и ( n ), а ( B ) - точка пересечения прямых ( m ) и ( n )) не равен 90 градусам.

Однако, если угол ( \angle AOB ) не равен 90 градусам, то у нас получится, что угол ( \angle AOB ) и угол, образованный перпендикулярной прямой ( n ) с прямой ( l ), не равны, что противоречит свойству параллельных прямых. Следовательно, прямая ( n ) также перпендикулярна к прямой ( m ).

Таким образом, если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Для доказательства следствия, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой, начнем с формулировки условий задачи и необходимых понятий.

Дано:

1. Две параллельные прямые (a) и (b).
2. Прямая (c), перпендикулярная прямой (a).

Найти:

Доказать, что прямая (c) перпендикулярна прямой (b).

Доказательство:

1. Определение параллельных прямых: Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Обозначим их (a \parallel b).

2. Определение перпендикулярных прямых: Прямые (a) и (c) называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусам, то есть (a \perp c).

3. Прямоугольник: Рассмотрим точку (A) на прямой (a) и точку пересечения (A) с прямой (c). Пусть точка пересечения (B) будет на прямой (b). Таким образом, (AB) — это отрезок, который пересекает обе параллельные прямые (a) и (b).

4. Теорема о параллельных прямых и перпендикулярных отрезках: Если одна прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она также перпендикулярна и другой параллельной прямой. Давайте рассмотрим это более формально.

5. Построение перпендикулярного отрезка: Проведем перпендикуляр от точки (A) на прямой (a) до прямой (b), пересекающий её в точке (B). Так как (a \parallel b), отрезок (AB) будет перпендикулярен обеим прямым.

6. Угол между прямыми: Угол между прямыми (a) и (c) равен 90 градусов по условию. Обозначим этот угол как (\angle AOC = 90^\circ), где (O) — точка пересечения (a) и (c).

7. Транзитивность перпендикулярности: Поскольку (a \parallel b), угол между (c) и (b) также будет равен 90 градусам. Это следует из свойства параллельных прямых, так как все перпендикуляры к одной из параллельных прямых также будут перпендикулярны другой прямой.

Следовательно:

Прямая (c), перпендикулярная прямой (a), будет также перпендикулярна и прямой (b).

Таким образом, мы доказали, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.