Докажите, что параллелограмм, у которого высоты, проведенные из вершины острого угла, равны, является...

Давайте докажем, что параллелограмм, у которого высоты, проведенные из вершины острого угла, равны, является ромбом.

Пусть (ABCD) — параллелограмм, причем ( \angle A ) и ( \angle C ) — острые углы. Пусть (h{AB}) и (h{AD}) — высоты, опущенные из вершины (A) соответственно на стороны (BC) и (CD). Предположим, что эти высоты равны, то есть (h{AB} = h{AD}).

Для начала рассмотрим свойства высот в параллелограмме. Высота в параллелограмме — это перпендикуляр, опущенный из вершины к противоположной стороне (или ее продолжению). Так как (h{AB}) и (h{AD}) равны, это значит, что расстояния от вершины (A) до сторон (BC) и (CD) одинаковы.

Теперь рассмотрим треугольники, образованные этими высотами:

1. Треугольник ( \Delta ABE ), где (E) — точка пересечения высоты (h_{AB}) со стороной (BC).
2. Треугольник ( \Delta ADF ), где (F) — точка пересечения высоты (h_{AD}) со стороной (CD).

Поскольку (h{AB} = h{AD}), получаем, что (AE = AF) (по определению высот).

Рассмотрим прямоугольные треугольники ( \Delta ABE ) и ( \Delta ADF ):

• В этих треугольниках ( \angle AEB = 90^\circ ) и ( \angle AFD = 90^\circ ) (по определению высот).
• Также (AE = AF) (по условию).

Таким образом, в треугольниках ( \Delta ABE ) и ( \Delta ADF ):

• (AB = AD) (так как (ABCD) — параллелограмм, и противоположные стороны равны).
• (AE = AF).

Итак, мы имеем два прямоугольных треугольника ( \Delta ABE ) и ( \Delta ADF ) с равными гипотенузами (AB) и (AD) и равными катетами (AE) и (AF). Из этого следует, что треугольники ( \Delta ABE ) и ( \Delta ADF ) равны по гипотенузе и катету (по теореме о равенстве прямоугольных треугольников).

Следовательно, углы ( \angle BAE ) и ( \angle DAF ) также равны. В параллелограмме эти углы ( \angle BAE ) и ( \angle DAF ) являются половинами углов ( \angle B ) и ( \angle D ). Таким образом, углы ( \angle B ) и ( \angle D ) равны.

Если в параллелограмме два соседних угла равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Таким образом, мы доказали, что если в параллелограмме высоты, проведенные из вершины острого угла, равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим параллелограмм ABCD, у которого высоты, проведенные из вершины острого угла A, равны.

Пусть H и H' - основания этих высот, тогда AH = AH'.

Так как AH и AH' - высоты, то треугольники ABH и ADH' прямоугольные. Из этого следует, что угол BAD равен углу CAD, так как они дополняются до прямого угла.

Также из равенства высот следует, что BH = DH', что означает, что треугольник BHD' - равнобедренный.

Из равнобедренности треугольника BHD' следует, что углы BHD' и D'HB равны. Но так как сумма углов в параллелограмме равна 360 градусов, то угол BHD равен углу D'HB.

Таким образом, у нас получается, что угол BHD равен углу DHB. Но так как углы BHD и DHB являются смежными и равными, то это означает, что BHD - прямой угол.

Из прямого угла BHD и равенства сторон BH и HD следует, что параллелограмм ABCD является ромбом.

Таким образом, мы доказали, что параллелограмм, у которого высоты, проведенные из вершины острого угла, равны, является ромбом.