Докажите, что основание АС равнобедренного треугольника АВС является касательной окружности с центром в точке В и радиусом,равным медиане треугольника, проведённой к его основанию
Докажите, что основание АС равнобедренного треугольника АВС является касательной окружности с центром в точке В и радиусом,равным медиане треугольника, проведённой к его основанию
Основание АС равнобедренного треугольника АВС является касательной окружности, так как угол между касательной и радиусом в точке касания равен углу между стороной треугольника и медианой, проведенной к его основанию.
Чтобы доказать, что основание ( AC ) равнобедренного треугольника ( \triangle ABC ) является касательной к окружности с центром в точке ( B ) и радиусом, равным длине медианы, проведенной к этому основанию, начнем с определения и использования свойств медиан и касательных.
Пусть ( M ) — середина основания ( AC ) в треугольнике ( \triangle ABC ). Медиана ( BM ) делит сторону ( AC ) пополам. По определению, медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Построим окружность с центром в точке ( B ) и радиусом, равным длине медианы ( BM ). Нам необходимо показать, что основание ( AC ) является касательной к этой окружности.
Для того чтобы линия ( AC ) была касательной к окружности с центром в ( B ), необходимо и достаточно, чтобы расстояние от центра окружности ( B ) до линии ( AC ) было равно радиусу окружности, то есть ( BM ).
Так как ( \triangle ABC ) равнобедренный с основаниями ( AC ), медиана ( BM ) также является высотой треугольника. Это значит, что ( BM ) перпендикулярно ( AC ). Таким образом, ( BM ) — это расстояние от точки ( B ) до линии ( AC ).
Поскольку медиана ( BM ) является высотой и расстоянием от точки ( B ) до линии ( AC ), а также совпадает с радиусом окружности, то линия ( AC ) находится на расстоянии, равном радиусу окружности, от её центра ( B ). Таким образом, ( AC ) является касательной к окружности.
Мы доказали, что в равнобедренном треугольнике ( \triangle ABC ) медиана, проведенная к основанию ( AC ), также является высотой, и таким образом, основание ( AC ) является касательной к окружности с центром в ( B ) и радиусом, равным этой медиане.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Проведем медиану AM, где M - середина стороны BC. Поскольку AM - медиана, то BM = MC.
Теперь рассмотрим окружность с центром в точке B и радиусом, равным медиане треугольника, то есть радиусом BM (или MC). Поскольку BM = MC, то эта окружность проходит через точки M и C.
Таким образом, основание AC треугольника ABC касается описанной окружности в точке C. Действительно, AC является касательной к этой окружности, так как угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен прямому углу.
Таким образом, основание AC равнобедренного треугольника ABC является касательной окружности с центром в точке B и радиусом, равным медиане треугольника, проведенной к его основанию.
