Докажите, что четырехугольник MNKP, заданный координатами своих вершин М (2; 2), N (5; 3), К (6; 6),...

Чтобы доказать, что четырехугольник MNKP является ромбом, необходимо показать, что все его стороны равны. Рассмотрим координаты вершин: M(2, 2), N(5, 3), K(6, 6), P(3, 5).

Сначала найдем длины всех сторон четырехугольника MNKP по формуле расстояния между двумя точками:

1. Длина стороны MN: [ MN = \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} ]

2. Длина стороны NK: [ NK = \sqrt{(6 - 5)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} ]

3. Длина стороны KP: [ KP = \sqrt{(6 - 3)^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} ]

4. Длина стороны PM: [ PM = \sqrt{(3 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} ]

Поскольку все стороны MN, NK, KP и PM равны и равны (\sqrt{10}), четырехугольник MNKP является ромбом.

Теперь найдем площадь ромба. Площадь ромба можно найти с использованием длины диагоналей. Сначала вычислим длины диагоналей MP и NK (они пересекаются в точке и делят ромб на четыре равных треугольника).

1. Длина диагонали MK: [ MK = \sqrt{(6 - 2)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} ]

2. Длина диагонали NP: [ NP = \sqrt{(5 - 3)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]

Площадь ромба (S) можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 ] где (d_1) и (d_2) — длины диагоналей.

Подставляя найденные значения: [ S = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 8 \times 2 = 8 ]

Таким образом, площадь ромба MNKP равна 8.

Чтобы доказать, что четырехугольник MNKP является ромбом, нужно показать, что все его стороны равны между собой, а также что диагонали перпендикулярны и равны между собой.

1. Проверим равенство сторон: Длина стороны MN = √((5-2)^2 + (3-2)^2) = √(3^2 + 1^2) = √10 Длина стороны NK = √((6-5)^2 + (6-3)^2) = √(1^2 + 3^2) = √10 Длина стороны KP = √((3-6)^2 + (5-6)^2) = √((-3)^2 + (-1)^2) = √10 Длина стороны PM = √((2-3)^2 + (2-5)^2) = √((-1)^2 + (-3)^2) = √10

Таким образом, все стороны равны между собой: MN = NK = KP = PM.

1. Проверим перпендикулярность диагоналей: Уравнение прямой, проходящей через точки M(2;2) и K(6;6): y = x Уравнение прямой, проходящей через точки N(5;3) и P(3;5): y = -x + 8

Таким образом, диагонали MN и KP перпендикулярны.

1. Проверим равенство диагоналей: Длина диагонали MK = √((6-2)^2 + (6-2)^2) = √(4^2 + 4^2) = √32 Длина диагонали NP = √((3-5)^2 + (5-3)^2) = √((-2)^2 + 2^2) = √8

Диагонали не равны между собой, следовательно, четырехугольник MNKP не является ромбом.

1. Вычислим площадь четырехугольника MNKP: Площадь четырехугольника можно вычислить с помощью формулы площади треугольника: S = 1/2 * |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|

Площадь четырехугольника MNKP = S(MNK) + S(NKP) = 1/2 |2(3-6) + 5(6-2) + 6(2-3)| + 1/2 |5(6-3) + 6(3-5) + 3(5-6)| = 1/2 |2(-3) + 54 + 6(-1)| + 1/2 |53 + 6(-2) + 3(-1)| = 1/2 |-6 + 20 - 6| + 1/2 |15 - 12 - 3| = 1/2 8 + 1/2 0 = 4

Таким образом, площадь четырехугольника MNKP равна 4.