Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(15;2), B(21;6), C(19;9) и D(13;5).
Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(15;2), B(21;6), C(19;9) и D(13;5).
Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и для нахождения его площади, следуем следующим шагам:
Чтобы четырёхугольник был прямоугольником, его противоположные стороны должны быть параллельны, а смежные стороны должны быть перпендикулярны.
Для этого вычислим угловые коэффициенты (наклоны) сторон AB, BC, CD и DA. Формула для наклона стороны между точками ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ) — это: [ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} ]
Наклон стороны AB: [ m_{AB} = \frac{6 - 2}{21 - 15} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} ]
Наклон стороны BC: [ m_{BC} = \frac{9 - 6}{19 - 21} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} ]
Наклон стороны CD: [ m_{CD} = \frac{9 - 5}{19 - 13} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} ]
Наклон стороны DA: [ m_{DA} = \frac{5 - 2}{13 - 15} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} ]
Мы видим, что: [ m{AB} = m{CD} = \frac{2}{3} ] [ m{BC} = m{DA} = -\frac{3}{2} ]
Таким образом, противоположные стороны параллельны. Теперь проверим перпендикулярность смежных сторон: Две прямые перпендикулярны, если произведение их наклонов равно (-1): [ m{AB} \times m{BC} = \frac{2}{3} \times -\frac{3}{2} = -1 ] [ m{BC} \times m{CD} = -\frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = -1 ] [ m{CD} \times m{DA} = \frac{2}{3} \times -\frac{3}{2} = -1 ] [ m{DA} \times m{AB} = -\frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = -1 ]
Все смежные стороны перпендикулярны, следовательно, четырёхугольник ABCD является прямоугольником.
Для нахождения площади прямоугольника нужно знать длины его сторон. Вычислим длины сторон AB и BC. Формула для длины стороны между точками ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ) — это: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]
Длина стороны AB: [ AB = \sqrt{(21 - 15)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} ]
Длина стороны BC: [ BC = \sqrt{(19 - 21)^2 + (9 - 6)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} ]
Площадь прямоугольника равна произведению длины его сторон: [ \text{Площадь} = AB \times BC = 2\sqrt{13} \times \sqrt{13} = 2 \times 13 = 26 ]
Таким образом, четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и его площадь равна 26 квадратным единицам.
Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, необходимо проверить, являются ли его противоположные стороны параллельными и равными по длине, а также углы противоположных сторон прямыми.
Для этого можно использовать координаты вершин ABCD и методы геометрии. Найдем уравнения прямых, содержащих стороны AB, BC, CD и DA. Проверим их параллельность и равенство углов между ними.
После доказательства, что ABCD является прямоугольником, найдем его площадь. Для этого можем воспользоваться формулой площади прямоугольника: S = a * b, где a и b - длины сторон прямоугольника. Длины сторон можно найти по координатам вершин, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.
После вычисления длин сторон, подставим их в формулу площади и найдем итоговый результат.
