Длины векторов m и n равны 3 и 2. Угол между ними равен 150 градусов. найдите скалярное произведение...

Для начала найдем скалярное произведение векторов m и n: m n = |m| |n| cos(150°) = 3 2 cos(150°) = 6 (-0.866) = -5.196.

Теперь вычислим вектор m + n: m + n = (3i + 0j) + (0i + 2j) = 3i + 2j.

И, наконец, найдем скалярное произведение n(m+n): n(m+n) = 2 (3 1 + 2 0) = 2 3 = 6.

Таким образом, скалярное произведение n(m+n) равно 6.

Для решения задачи найдем скалярное произведение векторов ( \mathbf{n} ) и ( \mathbf{m} + \mathbf{n} ).

Сначала разберем, что такое скалярное произведение. Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) определяется как:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta, ]

где ( \theta ) — угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).

В нашем случае, нужно найти скалярное произведение ( \mathbf{n} \cdot (\mathbf{m} + \mathbf{n}) ).

Раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения:

[ \mathbf{n} \cdot (\mathbf{m} + \mathbf{n}) = \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} + \mathbf{n} \cdot \mathbf{n}. ]

Теперь найдем каждое из этих скалярных произведений.

1. Скалярное произведение ( \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} ):

   Известно, что длины векторов ( |\mathbf{m}| = 3 ) и ( |\mathbf{n}| = 2 ), а угол между ними ( \theta = 150^\circ ). Тогда:

   [ \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = |\mathbf{n}| |\mathbf{m}| \cos 150^\circ. ]

   Зная, что ( \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} ), подставим значения:

   [ \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = 2 \times 3 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -3\sqrt{3}. ]

2. Скалярное произведение ( \mathbf{n} \cdot \mathbf{n} ):

   Это скалярное произведение вектора на самого себя, что равно квадрату его длины:

   [ \mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{n}|^2 = 2^2 = 4. ]

Теперь сложим результаты:

[ \mathbf{n} \cdot (\mathbf{m} + \mathbf{n}) = -3\sqrt{3} + 4. ]

Таким образом, скалярное произведение ( \mathbf{n} \cdot (\mathbf{m} + \mathbf{n}) ) равно ( 4 - 3\sqrt{3} ).