Длины окружностей оснований усеченного конуса равны 4pi и 28pi. Высота конуса равна 5. Найдите площадь...

Для нахождения площади поверхности усеченного конуса нужно использовать формулу S = π(R + r) l, где R и r - радиусы большего и меньшего оснований, l - образующая конуса. В данном случае, R = 28, r = 4, l = sqrt(5^2 + (28-4)^2) = sqrt(25 + 24^2) = sqrt(25 + 576) = sqrt(601). Подставляем значения в формулу и получаем S = π(28 + 4) sqrt(601) = 32π * sqrt(601).

Для нахождения площади поверхности усеченного конуса нам необходимо найти радиусы его верхнего и нижнего оснований. Для этого воспользуемся формулой длины окружности: длина окружности = 2 π радиус.

Пусть радиус верхнего основания конуса равен r1, а радиус нижнего основания - r2. Тогда имеем следующую систему уравнений: 2 π r1 = 4π, 2 π r2 = 28π.

Решив данную систему уравнений, получим: r1 = 2, r2 = 14.

Теперь можем найти площадь поверхности усеченного конуса по формуле: S = π (r1 + r2) l + π r1^2 + π r2^2, где l - образующая усеченного конуса.

Так как нам дана высота конуса h = 5, то по теореме Пифагора находим образующую l: l = sqrt(h^2 + (r2 - r1)^2) = sqrt(5^2 + (14 - 2)^2) = sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13.

Подставив все значения в формулу, получим: S = π (2 + 14) 13 + π 2^2 + π 14^2 = π 16 13 + 4π + 196π = 208π + 4π + 196π = 408π.

Итак, площадь поверхности усеченного конуса равна 408π.

Чтобы найти площадь поверхности усеченного конуса, необходимо учесть как боковую поверхность, так и площади двух оснований.

1. Поиск радиусов оснований:

   Длины окружностей оснований даны как (4\pi) и (28\pi). Формула длины окружности (C = 2\pi r), где (r) — радиус.

   • Для меньшего основания: [ 2\pi r_1 = 4\pi \implies r_1 = 2 ]

   • Для большего основания: [ 2\pi r_2 = 28\pi \implies r_2 = 14 ]

2. Поиск боковой поверхности:

   Для нахождения площади боковой поверхности используем формулу: [ A_{\text{боковая}} = \pi (r_1 + r_2) l ] где (l) — образующая усеченного конуса.

3. Поиск образующей (l):

   Образующую можно найти, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного высотой конуса и разностью радиусов оснований: [ l = \sqrt{(r_2 - r_1)^2 + h^2} ] где (h = 5) — высота усеченного конуса.

   Подставим значения: [ l = \sqrt{(14 - 2)^2 + 5^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 ]

4. Вычисление площади боковой поверхности:

   Подставим значения радиусов и образующей в формулу: [ A_{\text{боковая}} = \pi (2 + 14) \cdot 13 = 16\pi \cdot 13 = 208\pi ]

5. Поиск площади оснований:

   Площадь каждого основания можно найти по формуле площади круга (A = \pi r^2).

   • Для меньшего основания: [ A_1 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi ]

   • Для большего основания: [ A_2 = \pi \cdot 14^2 = 196\pi ]

6. Общая площадь поверхности усеченного конуса:

   Суммируем площади боковой поверхности и оснований: [ A{\text{общая}} = A{\text{боковая}} + A_1 + A_2 = 208\pi + 4\pi + 196\pi = 408\pi ]

Таким образом, площадь поверхности усеченного конуса равна (408\pi).