Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол 60 градусов....

Для решения задачи воспользуемся формулами для объема шара и конуса и данными задачи.

Шаг 1: Формула объема и данные для шара

Объем шара ( V{\text{шар}} ) выражается формулой: [ V{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r^3, ] где ( r ) — радиус шара. Так как диаметр шара равен высоте конуса, ( 2r = h ), где ( h ) — высота конуса.

Шаг 2: Формула объема и данные для конуса

Объем конуса ( V{\text{конус}} ) выражается формулой: [ V{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi R^2 h, ] где ( R ) — радиус основания конуса, ( h ) — высота конуса.

Шаг 3: Использование данных об угле

Из условия задачи известно, что образующая конуса ( l ) образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, где один угол 60 градусов, выразим радиус основания конуса ( R ) через высоту ( h ): [ \tan 60^\circ = \frac{R}{h} \Rightarrow R = h \tan 60^\circ = h \sqrt{3}. ]

Шаг 4: Подставим выражение для ( R ) в формулу объема конуса

[ V_{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi (h \sqrt{3})^2 h = \frac{1}{3} \pi 3 h^3 = \pi h^3. ]

Шаг 5: Подставим выражение для ( h ) через ( r ) в формулы объемов

[ h = 2r, ] [ V{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r^3, ] [ V{\text{конус}} = \pi (2r)^3 = 8 \pi r^3. ]

Шаг 6: Найдем отношение объемов

[ \frac{V{\text{конус}}}{V{\text{шар}}} = \frac{8 \pi r^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = \frac{8}{\frac{4}{3}} = 6. ]

Таким образом, отношение объема конуса к объему шара равно 6.

Для решения данной задачи нам необходимо выразить объемы конуса и шара через один параметр, который в данном случае будет диаметр шара (равный высоте конуса).

Объем шара можно выразить по формуле: Vшара = (4/3) π r^3, где r - радиус шара, который в данном случае равен диаметру шара, то есть d.

Объем конуса можно выразить по формуле: Vконуса = (1/3) π r^2 * h, где r - радиус основания конуса (равен d), h - высота конуса.

Дано, что диаметр шара равен высоте конуса, то есть d = h. Тогда объемы шара и конуса будут равны соответственно: Vшара = (4/3) π (d/2)^3 = (1/6) π d^3 и Vконуса = (1/3) π (d/2)^2 d = (1/12) π * d^3.

Отношение объема конуса к объему шара будет равно: Vконуса / Vшара = ((1/12) π d^3) / ((1/6) π d^3) = 1/2.

Итак, отношение объема конуса к объему шара равно 1:2.