Диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды - правильный треугольник, площадь которого...

Площадь основания пирамиды равна 27 см².

Чтобы найти площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды, начнем с анализа диагонального сечения, которое по условию является правильным треугольником с площадью (9\sqrt{3}) см².

1. Площадь правильного треугольника: Формула площади правильного треугольника в зависимости от стороны (a) выражается как: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ] По условию, (S = 9\sqrt{3}). Подставим это значение в формулу: [ \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 9\sqrt{3} ] Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби: [ \sqrt{3} a^2 = 36\sqrt{3} ] Разделим обе части уравнения на (\sqrt{3}): [ a^2 = 36 ] Отсюда находим, что длина стороны правильного треугольника: [ a = 6 ]

2. Построение диагонального сечения: Диагональное сечение пирамиды проходит через вершину пирамиды и две противоположные вершины основания. Правильный треугольник, образованный таким сечением, имеет стороны, равные диагонали квадрата основания и высоте пирамиды.

3. Связь с основанием: В правильной четырёхугольной пирамиде, если диагональное сечение образует правильный треугольник, то это возможно только при определенном соотношении между высотой пирамиды и стороной основания. Однако, из условия задачи можно предположить, что сторона основания (b) равна диагонали правильного треугольника.

4. Нахождение стороны основания: Диагональ квадрата, являющегося основанием пирамиды, (d), связана со стороной квадрата (b) следующим образом: [ d = b\sqrt{2} ] Поскольку диагональ квадрата равна стороне правильного треугольника: [ b\sqrt{2} = 6 ] Отсюда найдем сторону основания (b): [ b = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} ]

5. Площадь основания: Площадь основания пирамиды (квадрата) равна: [ S_{\text{осн}} = b^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18 ]

Таким образом, площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды составляет (18) см².

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами правильных четырехугольных пирамид.

Поскольку диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды образует правильный треугольник, то мы можем использовать формулу для вычисления площади правильного треугольника: S = (√3/4) * a^2, где а - сторона треугольника.

Из условия задачи площадь треугольника равна 9√3 см², следовательно:

9√3 = (√3/4) * a^2 Упростим уравнение: 36 = a^2 a = 6

Теперь, зная сторону треугольника, можем найти площадь основания пирамиды. Поскольку основание пирамиды - правильный четырехугольник, составленный из четырех равных равносторонних треугольников, можем разбить его на четыре равносторонних треугольника.

Площадь одного треугольника: S_triangle = (√3/4) a^2 = (√3/4) 6^2 = 9√3

Так как в основании пирамиды четыре таких треугольника, площадь основания пирамиды равна: S_base = 4 S_triangle = 4 9√3 = 36√3 см²

Итак, площадь основания пирамиды равна 36√3 см².