Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 17 найдите объем призмы если ее высота равна 8

Для нахождения объема правильной четырехугольной призмы с высотой 8 и диагональю 17, нужно разбить призму на два треугольных призмы и прямоугольную призму.

Так как диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, можно найти длину одной из сторон основания призмы. По теореме Пифагора:

( a^2 + b^2 = c^2 ), где ( a ) и ( b ) - катеты, ( c ) - гипотенуза.

Известно, что длина основания призмы равна 8 (высоте призмы), а длина диагонали равна 17. Подставим значения в формулу:

( 8^2 + b^2 = 17^2 ), ( 64 + b^2 = 289 ), ( b^2 = 289 - 64 ), ( b^2 = 225 ), ( b = 15 ).

Таким образом, длина стороны основания призмы равна 15.

Объем прямоугольной призмы можно найти по формуле ( V = S \times h ), где ( S ) - площадь основания, ( h ) - высота призмы.

Площадь основания равна ( S = a \times b = 15 \times 8 = 120 ), ( V = 120 \times 8 = 960 ).

Таким образом, объем правильной четырехугольной призмы с высотой 8 и диагональю 17 равен 960.

Для нахождения объема призмы нужно умножить площадь основания на высоту. Площадь основания правильной четырехугольной призмы равна площади квадрата со стороной, равной диагонали, то есть 17 17 = 289. Таким образом, объем призмы равен 289 8 = 2312.

Для решения задачи необходимо определить длину стороны основания правильной четырехугольной призмы. Основание такой призмы — квадрат. Диагональ призмы проходит через вершины основания и её высоту.

Обозначим сторону квадрата основания за ( a ). Диагональ основания квадрата ( d ) выражается формулой: [ d = a\sqrt{2} ]

Диагональ призмы, которая равна 17, соединяет две противоположные вершины, проходя через высоту призмы. Эта диагональ формирует прямоугольный треугольник, где катеты — диагональ основания и высота призмы, а гипотенуза — диагональ призмы. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора: [ 17^2 = (a\sqrt{2})^2 + 8^2 ]

Подставим известные значения: [ 289 = 2a^2 + 64 ]

Вычислим ( 2a^2 ): [ 2a^2 = 289 - 64 = 225 ]

Найдём ( a^2 ): [ a^2 = \frac{225}{2} = 112.5 ]

Теперь найдём ( a ): [ a = \sqrt{112.5} = \sqrt{\frac{225}{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{2}}{2} ]

Объём призмы ( V ) равен произведению площади основания на высоту. Площадь квадрата с стороной ( a ) равна ( a^2 ), и высота призмы равна 8. Поэтому: [ V = a^2 \times 8 ]

Подставим найденное значение ( a^2 ): [ V = 112.5 \times 8 = 900 ]

Таким образом, объём правильной четырехугольной призмы равен 900 кубических единиц.