Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 4 и составляет с плоскостью боковой грани угол 30...

Для начала рассмотрим четырехугольную призму. Поскольку угол между диагональю и плоскостью боковой грани составляет 30 градусов, мы можем разделить призму на два равнобедренных треугольника. Таким образом, каждый из этих треугольников будет иметь гипотенузу равную длине диагонали (4) и угол между гипотенузой и одной из катетов равный 30 градусам.

Теперь мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти длину катета. Поскольку у нас есть угол и длина гипотенузы, мы можем использовать тангенс угла:

tan(30) = катет / 4

Отсюда находим, что длина катета равна 4 * tan(30) = 2√3. Теперь мы можем найти высоту призмы, которая равна длине катета, то есть 2√3.

Объем призмы можно найти по формуле V = S h, где S - площадь основания призмы, а h - высота призмы. Поскольку у нас равнобедренные треугольники, площадь основания призмы равна S = (2√3)^2 = 12. Таким образом, V = 12 2√3 = 24√3.

Теперь рассмотрим описанный около призмы цилиндр. Радиус этого цилиндра равен половине диагонали призмы, то есть 2, а высота равна высоте призмы, то есть 2√3. Тогда объем цилиндра можно найти по формуле V = π r^2 h = π 2^2 2√3 = 8π√3.

Итак, объем призмы равен 24√3, а объем описанного около нее цилиндра равен 8π√3.

Объем призмы равен 8√3, объем описанного цилиндра равен 32π.