Диагональ прямоугольника равна 20 см,а его периметр 56 см.найти стороны прямоугольника и его площадь

Для решения задачи нужно найти длины сторон прямоугольника и его площадь, зная длину диагонали и периметр.

Обозначим стороны прямоугольника за ( a ) и ( b ).

1. Периметр прямоугольника:

   Периметр ( P ) равен сумме длин всех сторон: [ P = 2a + 2b = 56 ] Упростим это уравнение: [ a + b = 28 ]

2. Диагональ прямоугольника:

   По теореме Пифагора диагональ ( d ) прямоугольника выражается через стороны: [ d = \sqrt{a^2 + b^2} ] Подставим значение диагонали: [ \sqrt{a^2 + b^2} = 20 ] Возведем обе стороны уравнения в квадрат: [ a^2 + b^2 = 400 ]

3. Решение системы уравнений:

   У нас есть система из двух уравнений: [ \begin{cases} a + b = 28 \ a^2 + b^2 = 400 \end{cases} ]

   Выразим одно из значений, например, ( b ) через ( a ) из первого уравнения: [ b = 28 - a ]

   Подставим это выражение во второе уравнение: [ a^2 + (28-a)^2 = 400 ]

   Раскроем скобки: [ a^2 + (28-a)^2 = a^2 + (28^2 - 56a + a^2) = 400 ] [ 2a^2 - 56a + 784 = 400 ]

   Упростим уравнение: [ 2a^2 - 56a + 384 = 0 ] Разделим все уравнение на 2: [ a^2 - 28a + 192 = 0 ]

   Решим квадратное уравнение методом дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 784 - 768 = 16 ]

   Найдем корни уравнения: [ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{28 \pm 4}{2} ]

   [ a_1 = \frac{28 + 4}{2} = 16 ] [ a_2 = \frac{28 - 4}{2} = 12 ]

   Следовательно, стороны прямоугольника равны ( a = 16 ) см и ( b = 12 ) см.

4. Площадь прямоугольника:

   Площадь ( S ) прямоугольника равна произведению его сторон: [ S = a \cdot b = 16 \cdot 12 = 192 \text{ см}^2 ]

Таким образом, стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см, а его площадь составляет 192 квадратных сантиметра.

Для решения данной задачи нам нужно использовать два уравнения. Первое уравнение связывает диагональ и стороны прямоугольника, а второе уравнение связывает периметр и стороны прямоугольника.

Пусть длина стороны прямоугольника равна х, а ширина равна у. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

(x^2 + y^2 = 20^2)

Также известно, что периметр прямоугольника равен 2x + 2y, и он равен 56 см:

(2x + 2y = 56)

Теперь можем решить систему уравнений:

(x^2 + y^2 = 400) (2x + 2y = 56)

Преобразуем второе уравнение:

(x + y = 28)

Теперь можем решить систему методом подстановки или методом сложения и вычитания. После нахождения значений x и y, можем найти площадь прямоугольника, умножив длину на ширину:

(Площадь = x \cdot y)