Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с образующей цилиндра угол 60 градусов. Найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы , описанной вокруг цилиндра. Нарисовать рисунок. Спасибо за помощь!
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с образующей цилиндра угол 60 градусов. Найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы , описанной вокруг цилиндра. Нарисовать рисунок. Спасибо за помощь!
Для того чтобы решить эту задачу, давайте разберемся с данными и используем их для нахождения требуемых значений.
Найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы, описанной вокруг цилиндра.
Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Оно представляет собой прямоугольник с высотой ( h ) и двумя радиусами основания ( r ). Диагональ этого прямоугольника равна 12 см.
Согласно теореме Пифагора для прямоугольника:
[ d^2 = h^2 + (2r)^2 ]
где ( d = 12 ) см. Поскольку угол между диагональю и образующей равен 60 градусов, мы можем выразить высоту через диагональ и угол:
[ \cos 60^\circ = \frac{h}{d} \Rightarrow h = d \cdot \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см} ]
Теперь найдем радиус:
[ 12^2 = 6^2 + (2r)^2 \Rightarrow 144 = 36 + 4r^2 \Rightarrow 4r^2 = 108 \Rightarrow r^2 = 27 \Rightarrow r = 3\sqrt{3} \text{ см} ]
Поскольку призма правильная и четырехугольная, она имеет квадратное основание со стороной ( a ) и высотой ( h ) равной высоте цилиндра. Призма описана вокруг цилиндра, значит, ее сторона основания равна диаметру цилиндра:
[ a = 2r = 6\sqrt{3} \text{ см} ]
Площадь полной поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и площади двух оснований:
[ S_{\text{основ}} = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot (6\sqrt{3})^2 = 2 \cdot 108 = 216 \text{ см}^2 ]
Площадь боковой поверхности:
[ S_{\text{бок}} = 4ah = 4 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 144\sqrt{3} \text{ см}^2 ]
Полная площадь поверхности призмы:
[ S{\text{полная}} = S{\text{основ}} + S_{\text{бок}} = 216 + 144\sqrt{3} \text{ см}^2 ]
Площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы, описанной вокруг цилиндра, равна ( 216 + 144\sqrt{3} ) квадратных сантиметров.
К сожалению, я не могу нарисовать рисунок, но вы можете изобразить цилиндр, его осевое сечение и описанную призму, следуя описанным шагам.
Для решения этой задачи нам необходимо найти высоту цилиндра, используя информацию о диагонали осевого сечения и угле между диагональю и образующей.
Из геометрии цилиндра известно, что диагональ осевого сечения равна диаметру основания цилиндра. Таким образом, диаметр цилиндра равен 12 см.
Также известно, что угол между диагональю и образующей цилиндра равен 60 градусов. Это означает, что прямоугольный треугольник, образованный диагональю и половиной диаметра цилиндра, имеет угол в 30 градусов.
Используя тригонометрию, мы можем найти высоту цилиндра: sin(30°) = h / (12/2) h = (12/2) sin(30°) h = 6 0.5 h = 3 см
Теперь мы можем найти площадь полной поверхности призмы, описанной вокруг цилиндра. Призма имеет 4 равных треугольных грани и 2 основания (круговые). Площадь каждой треугольной грани равна (1/2) основание высота, где основание – длина диагонали осевого сечения, а высота – высота цилиндра. Площадь одной треугольной грани: (1/2) 12 3 = 18 см² Площадь всех треугольных граней: 18 * 4 = 72 см²
Площадь одного кругового основания цилиндра: π (12/2)² = 36π см² Площадь обоих круговых оснований: 36π 2 = 72π см²
Таким образом, площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей всех граней: 72 + 72π ≈ 311.61 см²
Чтобы нарисовать рисунок, нужно изобразить цилиндр и вокруг него описанную призму с четырьмя треугольными гранями и двумя круговыми основаниями.
