Диагональ BD четырехугольника ABCD является биссектрисой его угла, BC*BA=BD2 . Докажите, что LBAD=LBDC....

Доказательство: Из условия BC*BA=BD^2 следует, что треугольник BCD подобен треугольнику BAD. Так как BD - биссектриса угла B, то LBAD=LBDC.

Отношение площадей четырехугольника ABCD, деленное диагональю BD, равно 3:2.

Для доказательства равенства углов LBAD и LBDC воспользуемся теоремой о биссектрисе угла в треугольнике. Из условия задачи мы знаем, что диагональ BD является биссектрисой угла ABC. Поэтому угол DBA равен углу DBC. Также из условия задачи мы имеем равенство BC*BA=BD^2. Из этого равенства мы можем выразить BA через BC и BD: BA=BD^2/BC. Теперь рассмотрим треугольники ABD и CBD. Углы ABD и CBD смежные, а стороны AD и DC пропорциональны по условию задачи. Значит, треугольники ABD и CBD подобны. Из подобия треугольников мы можем получить, что углы BAD и BCD равны. Из этого следует, что сумма углов LBAD и LBDC равна углу ABC, то есть они равны друг другу.

Чтобы найти в каком отношении площадь четырехугольника делится его диагональю BD, давайте обозначим DC как 3x, а AD как 2x. Тогда площадь четырехугольника ABCD можно представить как сумму площадей треугольников ABD и BCD. Площадь треугольника ABD можно выразить как 1/2 AD BD sin(LBAD), а площадь треугольника BCD как 1/2 DC BD sin(LBDC). Подставим значения DC и AD в эти формулы и заменим sin(LBAD) и sin(LBDC) на sin(ABC) (так как углы LBAD, LBDC и ABC равны). После упрощения получим общую формулу для площади четырехугольника ABCD: S = BD^2 sin(ABC). Таким образом, площадь четырехугольника делится его диагональю в отношении BD^2 sin(ABC).

Для начала рассмотрим, что диагональ ( BD ) является биссектрисой угла ( B ) четырёхугольника ( ABCD ). Это значит, что ( \angle ABD = \angle CBD ).

Из условия ( BC \cdot BA = BD^2 ) следует, что треугольник ( BCD ) подобен треугольнику ( BAD ) по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними, который является общим для обоих треугольников). Применимо следующее соотношение сторон в подобных треугольниках:

[ \frac{BC}{BD} = \frac{BD}{BA} ]

Это означает, что ( BD ) является средним геометрическим для ( BC ) и ( BA ). Так как ( BD ) является биссектрисой угла ( B ), углы ( \angle ABD ) и ( \angle CBD ) равны.

Теперь докажем, что ( \angle BAD = \angle BDC ). Так как треугольники ( BAD ) и ( BCD ) подобны, то соответствующие углы этих треугольников равны:

[ \angle BAD = \angle BDC ]

Таким образом, доказано, что ( \angle BAD = \angle BDC ).

Теперь рассмотрим отношение площадей, разделённых диагональю ( BD ). Поскольку треугольники ( BAD ) и ( BCD ) подобны и их стороны соотносятся как ( DC:AD = 3:2 ), площади этих треугольников будут относиться как квадраты их соответствующих сторон:

[ \frac{S{BCD}}{S{BAD}} = \left( \frac{DC}{AD} \right)^2 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} ]

Таким образом, площадь треугольника ( BCD ) в ( \frac{9}{4} ) раз больше площади треугольника ( BAD ).