Диагональ AC прямоугольной трапеции ABCD является биссектрисой прямого угла A и перпендикулярна боковой...

а) Поскольку диагональ AC является биссектрисой прямого угла A, то угол CAD равен углу DAB. Также, так как диагональ перпендикулярна боковой стороне CD, то треугольник ACD прямоугольный. Поэтому угол CAD равен углу ACD, что означает, что треугольник ACD равнобедренный. Следовательно, высота трапеции равна основанию DC.

б) Пусть меньшее основание трапеции равно 18 см. Так как треугольник ACD равнобедренный, то высота трапеции также равна 18 см. Так как диагональ AC является биссектрисой прямого угла A, то угол CAD равен углу DAB, что означает, что треугольник ABD равнобедренный. Таким образом, AB = AD. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABD имеем: AB^2 + AD^2 = BD^2. Заменяя AB на AD получаем: AD^2 + AD^2 = BD^2, что приводит к 2AD^2 = BD^2. Так как AB = AD, то BD = 2AD. Таким образом, большее основание трапеции равно 2*18 см = 36 см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольной трапеции и свойствами биссектрисы.

Доказательство части (а)

1. Определим фигуру:

   • Пусть (ABCD) — прямоугольная трапеция с прямым углом при вершине (A).
   • (AB) и (CD) — основания трапеции, причем (AB \parallel CD).
   • Диагональ (AC) является биссектрисой угла (A) и перпендикулярна боковой стороне (CD).

2. Свойства биссектрисы:

   • Поскольку (AC) — биссектриса прямого угла (A), она делит угол (A) на два равных угла по (45^\circ).

3. Рассмотрим треугольник (ACD):

   • Угол (CAD = 45^\circ), угол (ADC = 90^\circ), а значит угол (ACD = 45^\circ).

4. Докажем, что (\triangle ACD) равнобедренный:

   • В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, поэтому (AD = CD).

5. Рассмотрим высоту трапеции:

   • Высота трапеции (h) — это отрезок, опущенный из точки (D) на основание (AB), который равен (AD).
   • Поскольку (AD = CD), а (CD) — меньшее основание, то (h = AB).

6. Следовательно, высота трапеции равна её меньшему основанию.

Решение части (б)

Теперь, когда мы знаем, что высота трапеции равна её меньшему основанию, можем найти длины высоты и большего основания.

1. Дано:

   • Меньшее основание (AB = 18) см.

2. Высота трапеции:

   • Как мы доказали ранее, высота (h = AB = 18) см.

3. Длина большего основания (CD):

   • Поскольку (CD) и высота (AD) образуют равнобедренный прямоугольный треугольник (ACD), и (h = AD), то:
   • (CD = h = 18) см.

Таким образом, длины высоты и большего основания трапеции равны 18 см и 18 см соответственно.

a) Поскольку диагональ AC является биссектрисой прямого угла A, то треугольник ACD равнобедренный (AD = DC). Также из условия известно, что диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, значит треугольник ACD является прямоугольным. Следовательно, высота трапеции (AD) равна ее меньшему основанию (BC).

б) Пусть меньшее основание трапеции (BC) равно 18 см. Так как высота трапеции (AD) равна меньшему основанию, то AD = BC = 18 см. Также из равнобедренности треугольника ACD следует, что AC = AD = 18 см. Поскольку диагональ AC является биссектрисой прямого угла A, то угол CAD равен 45 градусам. Теперь можно найти длину большего основания трапеции (AB) с помощью теоремы Пифагора: AB = √(AC^2 - BC^2) = √(18^2 - 18^2) = √(324 - 324) = √0 = 0. Следовательно, большее основание трапеции равно 0 см.