Даны векторы а (-2;3;1) и b(4;-1;2)
a) Найдите вектор 2а-b б) При каком значении у и z вектор с (8;у; z) и вектор а коллинеарны? в) Определите, совпадают ли в этом случае направление вектора а и с. г) Найдите координаты вектора d, если векторы b и d сонаправлены и /d/=2/b/
/./-это модуль
a) Вектор 2а-b = 2(-2;3;1) - (4;-1;2) = (-4;6;2) - (4;-1;2) = (-8;7;0)
б) Для того чтобы вектор с (8;у; z) и вектор а были коллинеарными, необходимо, чтобы они были параллельными и имели одинаковое направление. Таким образом, мы можем записать уравнение: 8/-2 = у/3 = z/1. Решая это уравнение, получаем у = -12 и z = -4.
в) Направление вектора а и с совпадает, так как они коллинеарны.
г) Так как векторы b и d сонаправлены, то мы можем записать уравнение: d = kb, где k - коэффициент пропорциональности. Также из условия /d/ = 2/b/ следует, что |d| = 2|b|. Таким образом, |kb| = 2|b|. Решая это уравнение, получаем k = 2. Значит, координаты вектора d будут равны (8;-2;4).
а) Вектор 2а-b = 2(-2;3;1) - (4;-1;2) = (-4;6;2) - (4;-1;2) = (-8;7;0)
б) Для того чтобы вектор с и вектор а были коллинеарными, необходимо, чтобы они были пропорциональными. То есть, существовали такие числа k и m, что (8;у;z) = k(-2;3;1) = m(4;-1;2). Решим систему уравнений: 8 = -2k у = 3k z = k 8 = 4m у = -m z = 2m Из первых двух уравнений получаем k = -4, у = -12, z = -4. Из вторых двух уравнений получаем m = 2, у = -2, z = 4.
в) Направление вектора а и совпадает с направлением вектора с, так как они коллинеарны.
г) Поскольку векторы b и d сонаправлены и |d| = 2/|b|, то координаты вектора d будут d = 2b/|b| = 2(4;-1;2)/sqrt(4^2 + (-1)^2 + 2^2) = (8;-2;4)
a) Для начала найдем вектор (2\mathbf{a} - \mathbf{b}). Учитывая, что (\mathbf{a} = (-2; 3; 1)), вектор (2\mathbf{a}) будет равен (2 \times (-2; 3; 1) = (-4; 6; 2)). Теперь вычтем вектор (\mathbf{b} = (4; -1; 2)) из полученного вектора (2\mathbf{a}): [ 2\mathbf{a} - \mathbf{b} = (-4; 6; 2) - (4; -1; 2) = (-4 - 4; 6 + 1; 2 - 2) = (-8; 7; 0). ] Итак, вектор (2\mathbf{a} - \mathbf{b} = (-8; 7; 0)).
б) Векторы (\mathbf{a}) и (\mathbf{c}) коллинеарны, если существует такое скалярное число (k), что (\mathbf{c} = k\mathbf{a}). Из условия (\mathbf{c} = (8; y; z)) и (\mathbf{a} = (-2; 3; 1)), следует: [ 8 = k(-2), \quad y = k \cdot 3, \quad z = k \cdot 1. ] Из первого уравнения находим (k = -4). Подставляя (k) в оставшиеся уравнения, получим: [ y = -4 \cdot 3 = -12, \quad z = -4 \cdot 1 = -4. ] Итак, (y = -12) и (z = -4).
в) Чтобы определить, совпадают ли направления векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{c}), рассмотрим знак числа (k). Поскольку (k = -4), что меньше нуля, векторы (\mathbf{a}) и (\mathbf{c}) имеют противоположные направления.
г) Векторы (\mathbf{b}) и (\mathbf{d}) сонаправлены, если (\mathbf{d} = k\mathbf{b}) и (k > 0). Также дано, что модуль (\mathbf{d}) в два раза больше модуля (\mathbf{b}). Модуль вектора (\mathbf{b} = (4; -1; 2)) равен: [ |\mathbf{b}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}. ] Тогда (|\mathbf{d}| = 2|\mathbf{b}| = 2\sqrt{21}), и поскольку (\mathbf{d} = k\mathbf{b}), то: [ |\mathbf{d}| = |k||\mathbf{b}| \Rightarrow 2\sqrt{21} = |k|\sqrt{21}. ] Отсюда (|k| = 2). Поскольку векторы сонаправлены, (k > 0), следовательно, (k = 2). Теперь найдем (\mathbf{d}): [ \mathbf{d} = 2\mathbf{b} = 2 \times (4; -1; 2) = (8; -2; 4). ] Итак, координаты вектора (\mathbf{d}) равны ((8; -2; 4)).
