Даны три последовательные вершины параллелограмма A(-3;-2;0) B(3;-1;1) и С(5;0;2) Найти угол между векторами...

Для нахождения угла между векторами AC и BD необходимо найти косинус угла между этими векторами по формуле: cos(θ) = (AC BD) / (|AC| |BD|), где AC и BD - векторы, * - скалярное произведение векторов, |AC| и |BD| - длины векторов. После нахождения косинуса угла, можно вычислить угол θ по формуле: θ = arccos(cos(θ)).

Для нахождения угла между векторами необходимо вычислить скалярное произведение векторов AC и BD, а затем применить формулу для нахождения угла между векторами:

1. Найдем векторы AC и BD: Вектор AC = C - A = (5 - (-3); 0 - (-2); 2 - 0) = (8; 2; 2) Вектор BD = D - B = (5 - 3; 0 - (-1); 2 - 1) = (2; 1; 1)

2. Вычислим скалярное произведение векторов AC и BD: AC BD = 82 + 21 + 21 = 16 + 2 + 2 = 20

3. Найдем длины векторов AC и BD: |AC| = √(8^2 + 2^2 + 2^2) = √(64 + 4 + 4) = √72 = 6√2 |BD| = √(2^2 + 1^2 + 1^2) = √(4 + 1 + 1) = √6

4. Найдем косинус угла между векторами по формуле: cos(θ) = (AC BD) / (|AC| |BD|) cos(θ) = 20 / (6√2 √6) = 20 / (6√12) = 20 / (6 2√3) = 20 / (12√3) = 5 / 3√3

5. Найдем угол θ по формуле: θ = arccos(5 / 3√3) ≈ 34.52 градуса

Таким образом, угол между векторами AC и BD составляет примерно 34.52 градуса.

Для решения задачи, необходимо найти угол между векторами ( \mathbf{AC} ) и ( \mathbf{BD} ) в параллелограмме. Даны три последовательные вершины параллелограмма: ( A(-3, -2, 0) ), ( B(3, -1, 1) ) и ( C(5, 0, 2) ).

1. Найдем координаты вектора ( \mathbf{AC} ): [ \mathbf{AC} = C - A = (5 - (-3), 0 - (-2), 2 - 0) ] [ \mathbf{AC} = (8, 2, 2) ]

2. Найдем координаты четвертой вершины параллелограмма ( D ): Поскольку ( A ) и ( C ) — противоположные вершины, ( D ) будет противоположной вершиной к ( B ). В параллелограмме диагонали пересекаются в середине, следовательно, средняя точка диагонали ( AC ) совпадает со средней точкой диагонали ( BD ).

Средняя точка диагонали ( AC ): [ \left( \frac{-3 + 5}{2}, \frac{-2 + 0}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{-2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (1, -1, 1) ]

Средняя точка диагонали ( BD ) должна быть такой же, поэтому: [ \left( \frac{3 + x_D}{2}, \frac{-1 + y_D}{2}, \frac{1 + z_D}{2} \right) = (1, -1, 1) ]

Решаем систему уравнений: [ \frac{3 + x_D}{2} = 1 ] [ 3 + x_D = 2 ] [ x_D = -1 ]

[ \frac{-1 + y_D}{2} = -1 ] [ -1 + y_D = -2 ] [ y_D = -1 ]

[ \frac{1 + z_D}{2} = 1 ] [ 1 + z_D = 2 ] [ z_D = 1 ]

Таким образом, ( D(-1, -1, 1) ).

1. Найдем координаты вектора ( \mathbf{BD} ): [ \mathbf{BD} = D - B = (-1 - 3, -1 - (-1), 1 - 1) ] [ \mathbf{BD} = (-4, 0, 0) ]

2. Найдем скалярное произведение векторов ( \mathbf{AC} ) и ( \mathbf{BD} ): [ \mathbf{AC} \cdot \mathbf{BD} = (8, 2, 2) \cdot (-4, 0, 0) ] [ \mathbf{AC} \cdot \mathbf{BD} = 8 \cdot (-4) + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 ] [ \mathbf{AC} \cdot \mathbf{BD} = -32 ]

3. Найдем длины векторов ( \mathbf{AC} ) и ( \mathbf{BD} ): [ |\mathbf{AC}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4 + 4} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} ]

[ |\mathbf{BD}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 ]

1. Найдем косинус угла между векторами ( \mathbf{AC} ) и ( \mathbf{BD} ): [ \cos \theta = \frac{\mathbf{AC} \cdot \mathbf{BD}}{|\mathbf{AC}| |\mathbf{BD}|} ] [ \cos \theta = \frac{-32}{6\sqrt{2} \cdot 4} = \frac{-32}{24\sqrt{2}} = \frac{-32}{24 \cdot 1.414} = \frac{-32}{33.936} \approx -0.942 ]

2. Найдем угол ( \theta ): [ \theta = \arccos(-0.942) ] [ \theta \approx 160.53^\circ ]

Таким образом, угол между векторами ( \mathbf{AC} ) и ( \mathbf{BD} ) составляет приблизительно ( 160.53^\circ ).