Даны точки С(-4;-3;-1), Д(-1;-2;3), М(2;-1;-2), N(0;1;-3). Найдите /3СД-2MN/

Для начала найдем координаты векторов СD и MN:

Вектор CD = D - C = (-1 + 4; -2 + 3; 3 + 1) = (3; 1; 4) Вектор MN = N - M = (0 - 2; 1 + 1; -3 + 2) = (-2; 2; -1)

Теперь найдем скалярное произведение векторов CD и MN:

(3 -2) + (1 2) + (4 * -1) = -6 + 2 - 4 = -8

Длина вектора CD = √(3² + 1² + 4²) = √(9 + 1 + 16) = √26 Длина вектора MN = √((-2)² + 2² + (-1)²) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3

Теперь найдем модуль разности CD и умножим на 2:

|CD - 2MN| = √((3 - (-2))² + (1 - 2)² + (4 - (-1))²) = √(5² + 1² + 5²) = √(25 + 1 + 25) = √51

Итак, |3CD - 2MN| = 2 * √51.

Для решения задачи необходимо найти векторное выражение (3\vec{CD} - 2\vec{MN}) и затем вычислить его длину. Давайте поэтапно решим эту задачу.

1. Найдем вектор (\vec{CD}):

   Вектор (\vec{CD}) определяется как разность координат точки D и точки C: [ \vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C, z_D - z_C) = (-1 - (-4), -2 - (-3), 3 - (-1)) = (3, 1, 4) ]

2. Найдем вектор (\vec{MN}):

   Вектор (\vec{MN}) определяется как разность координат точки N и точки M: [ \vec{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M, z_N - z_M) = (0 - 2, 1 - (-1), -3 - (-2)) = (-2, 2, -1) ]

3. Вычислим (3\vec{CD}):

   Умножим каждый компонент вектора (\vec{CD}) на 3: [ 3\vec{CD} = 3 \times (3, 1, 4) = (9, 3, 12) ]

4. Вычислим (2\vec{MN}):

   Умножим каждый компонент вектора (\vec{MN}) на 2: [ 2\vec{MN} = 2 \times (-2, 2, -1) = (-4, 4, -2) ]

5. Найдем вектор (3\vec{CD} - 2\vec{MN}):

   Вычтем векторы: [ 3\vec{CD} - 2\vec{MN} = (9, 3, 12) - (-4, 4, -2) = (9 + 4, 3 - 4, 12 + 2) = (13, -1, 14) ]

6. Найдем длину вектора (3\vec{CD} - 2\vec{MN}):

   Длина вектора ((a, b, c)) вычисляется по формуле: [ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} ] Подставим наши значения: [ \sqrt{13^2 + (-1)^2 + 14^2} = \sqrt{169 + 1 + 196} = \sqrt{366} ]

Таким образом, длина вектора (3\vec{CD} - 2\vec{MN}) равна (\sqrt{366}).