Даны точки А(3;-2), В(1;-1), С(-1;1)найдите:1. модули векторов ВА и ВС2. координаты векторов МР=4ВА-ВС3....

Давайте последовательно решим каждый пункт вашего вопроса.

1. Модули векторов ВА и ВС

Для начала найдем координаты векторов ВА и ВС:

• Вектор ( \vec{BA} = A - B = (3 - 1, -2 + 1) = (2, -3) )
• Вектор ( \vec{BC} = C - B = (-1 - 1, 1 + 1) = (-2, 2) )

Теперь найдем модули этих векторов:

• Модуль вектора ( \vec{BA} ): [ |\vec{BA}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} ]
• Модуль вектора ( \vec{BC} ): [ |\vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]

2. Координаты векторов ( \vec{MP} = 4\vec{BA} - \vec{BC} )

Умножим координаты вектора ( \vec{BA} ) на 4 и вычтем координаты вектора ( \vec{BC} ):

• ( 4\vec{BA} = 4 \cdot (2, -3) = (8, -12) )
• Тогда ( \vec{MP} = (8, -12) - (-2, 2) = (8 + 2, -12 - 2) = (10, -14) )

3. Скалярное произведение векторов ВА и ВС

Скалярное произведение двух векторов ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ), заданных координатами ( (a_1, a_2) ) и ( (b_1, b_2) ), вычисляется по формуле: [ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 ] Тогда для ( \vec{BA} ) и ( \vec{BC} ): [ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot (-2) + (-3) \cdot 2 = -4 - 6 = -10 ]

4. Косинус угла между векторами ВА и ВС

Косинус угла между векторами можно найти по формуле: [ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} ] Подставляя ранее найденные значения, получаем: [ \cos(\theta) = \frac{-10}{\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-10}{2\sqrt{26}} = \frac{-5}{\sqrt{26}} \approx -0.98 ]

Таким образом, угол между векторами ( \vec{BA} ) и ( \vec{BC} ) близок к 180 градусам, что означает, что векторы почти противоположно направлены.

1. Модуль вектора ВА: |ВА| = √((1 - 3)^2 + (-1 - (-2))^2) = √(4 + 1) = √5

Модуль вектора ВС: |ВС| = √((-1 - 1)^2 + (1 - (-2))^2) = √(4 + 9) = √13

1. Координаты вектора МР: МР = 4ВА - ВС = 4(3 - 1, -2 - (-1)) - (-1, 1) = (8, -10)

2. Скалярное произведение векторов ВА и ВС: ВА • ВС = (1 -1) + (-1 2) = -1 - 2 = -3

3. Косинус угла между векторами ВА и ВС: cos(θ) = (ВА • ВС) / (|ВА| |ВС|) = (-3) / (√5 √13) = -3 / (√65)