Даны точки А(2;-1;0) В(-3;2;1) С(1;1;4) Найдите координаты точки D если векторы 1) AB и CD равны 2)...

Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться свойствами векторов и уравнениями прямой в пространстве.

Часть 1: Найти координаты точки D

1. Векторы AB и CD равны:

   Вектор (\mathbf{AB}) может быть найден как разность координат точек (B) и (A). [ \mathbf{AB} = B - A = (-3 - 2, 2 + 1, 1 - 0) = (-5, 3, 1) ]

   Для того чтобы векторы (\mathbf{AB}) и (\mathbf{CD}) были равны, их координаты должны совпадать. Обозначим координаты точки (D) как ((x_D, y_D, z_D)). Тогда: [ \mathbf{CD} = D - C = (x_D - 1, y_D - 1, z_D - 4) ] Так как (\mathbf{CD} = \mathbf{AB}), то: [ (x_D - 1, y_D - 1, z_D - 4) = (-5, 3, 1) ]

   Решим систему уравнений: [ \begin{cases} x_D - 1 = -5 \ y_D - 1 = 3 \ z_D - 4 = 1 \end{cases} ]

   Отсюда: [ \begin{cases} x_D = -4 \ y_D = 4 \ z_D = 5 \end{cases} ]

   Таким образом, координаты точки (D) равны ((-4, 4, 5)).

2. Векторы AC и DB равны:

   Найдем вектор (\mathbf{AC}): [ \mathbf{AC} = C - A = (1 - 2, 1 + 1, 4 - 0) = (-1, 2, 4) ]

   Для того чтобы векторы (\mathbf{AC}) и (\mathbf{DB}) были равны, их координаты должны совпадать. Обозначим координаты точки (D) как ((x_D, y_D, z_D)). Тогда: [ \mathbf{DB} = B - D = (-3 - x_D, 2 - y_D, 1 - z_D) ] Так как (\mathbf{DB} = \mathbf{AC}), то: [ (-3 - x_D, 2 - y_D, 1 - z_D) = (-1, 2, 4) ]

   Решим систему уравнений: [ \begin{cases} -3 - x_D = -1 \ 2 - y_D = 2 \ 1 - z_D = 4 \end{cases} ]

   Отсюда: [ \begin{cases} x_D = -2 \ y_D = 0 \ z_D = -3 \end{cases} ]

   Таким образом, координаты точки (D) равны ((-2, 0, -3)).

Часть 2: Проверка коллинеарности точек A, B и C

Для проверки, лежат ли точки (A), (B) и (C) на одной прямой, нужно проверить, являются ли векторы (\mathbf{AB}) и (\mathbf{AC}) коллинеарными.

1. Рассчитаем вектор (\mathbf{AB}): [ \mathbf{AB} = B - A = (0 - 6, 3 + 1, -2 - 0) = (-6, 4, -2) ]

2. Рассчитаем вектор (\mathbf{AC}): [ \mathbf{AC} = C - A = (3 - 6, 1 + 1, -1 - 0) = (-3, 2, -1) ]

Проверим, являются ли векторы (\mathbf{AB}) и (\mathbf{AC}) пропорциональными: [ \frac{-6}{-3} = 2, \quad \frac{4}{2} = 2, \quad \frac{-2}{-1} = 2 ]

Так как все отношения равны (равны 2), векторы (\mathbf{AB}) и (\mathbf{AC}) коллинеарны. Следовательно, точки (A), (B) и (C) лежат на одной прямой.

Теперь определим, какая из точек лежит между двумя другими. Для этого найдем расстояния между точками: [ |\mathbf{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} ] [ |\mathbf{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} ] [ |\mathbf{BC}| = \sqrt{(3 - 0)^2 + (1 - 3)^2 + (-1 + 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} ]

Из расстояний видно, что ( |\mathbf{AC}| + |\mathbf{BC}| = \sqrt{14} + \sqrt{14} = 2\sqrt{14} = |\mathbf{AB}| ). Таким образом, точка (C) лежит между точками (A) и (B).

1) Для равенства векторов AB и CD необходимо, чтобы CD = AB = B - A = (-3 - 2; 2 - (-1); 1 - 0) = (-5; 3; 1). Точка D имеет координаты (2 - 5; -1 + 3; 0 + 1) = (-3; 2; 1).

2) Для равенства векторов AC и DB необходимо, чтобы DB = AC = C - A = (1 - 2; 1 - (-1); 4 - 0) = (-1; 2; 4). Точка D имеет координаты (-3 - 1; 2 + 2; 1 + 4) = (-4; 4; 5).

3) Для того чтобы определить, лежат ли точки A, B и C на одной прямой, нужно проверить, что векторы AB и AC коллинеарны. Вектор AB = B - A = (0 - 6; 3 - (-1); -2 - 0) = (-6; 4; -2) и вектор AC = C - A = (3 - 6; 1 - (-1); -1 - 0) = (-3; 2; -1).

Проверим их коллинеарность: AB/AC = (-6/-3; 4/2; -2/-1) = (2; 2; 2), что означает, что точки A, B и C лежат на одной прямой. Точка, которая лежит между двумя другими, определяется как B.

1) Для начала найдем векторы AB и CD: AB = B - A = (-3 - 2; 2 - (-1); 1 - 0) = (-5; 3; 1) CD = D - C

Так как AB = CD, то имеем: (-5; 3; 1) = D - C

Теперь найдем векторы AC и DB: AC = C - A = (1 - 2; 1 - (-1); 4 - 0) = (-1; 2; 4) DB = B - D

Так как AC = DB, то имеем: (-1; 2; 4) = B - D

2) Для того чтобы доказать, что точки A, B и C лежат на одной прямой, можно воспользоваться векторным произведением. Если векторное произведение векторов AB и AC равно нулю, то точки лежат на одной прямой.

AB = (-5; 3; 1) AC = (-1; 2; 4)

AB x AC = i j k

        -5 3 1
        -1 2 4

= i(34 - 21) - j(-54 - 11) + k(-52 - 3(-1)) = i(12 - 2) - j(-20 - 1) + k(-10 + 3) = i(10) - j(-21) + k(-7) = (10; 21; -7)

Так как AB x AC не равен нулю, точки A, B и C не лежат на одной прямой.

Чтобы определить, какая точка лежит между двумя другими, рассмотрим расстояния между точками: AB = √((-3 - 2)^2 + (2 - (-1))^2 + (1 - 0)^2) = √(25 + 9 + 1) = √35 ≈ 5.92 BC = √((1 + 3)^2 + (1 - 1)^2 + (4 + 2)^2) = √(16 + 0 + 36) = √52 ≈ 7.21 AC = √((1 - 2)^2 + (1 + 1)^2 + (4 - 0)^2) = √(1 + 4 + 16) = √21 ≈ 4.58

Так как AC < AB < BC, то точка B лежит между точками A и C.