Даны точки А(1;5), В(-2;2), С(0;0) и Д(3;3). Докажите, что: а) АВСД- параллелограмм; б) АВСД- прямоугольник.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом и прямоугольником, мы можем использовать свойства векторов и расстояний.

a) Доказательство, что ABCD — параллелограмм.

Для того чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом, необходимо, чтобы его противоположные стороны были равны по длине или чтобы векторы, соединяющие точки, были равны.

1. Вычислим векторы AB и CD:

   • Вектор AB = B - A = (-2 - 1; 2 - 5) = (-3; -3)
   • Вектор CD = D - C = (3 - 0; 3 - 0) = (3; 3)

2. Вычислим векторы AD и BC:

   • Вектор AD = D - A = (3 - 1; 3 - 5) = (2; -2)
   • Вектор BC = C - B = (0 - (-2); 0 - 2) = (2; -2)

Теперь сравним векторы:

• Векторы AB и CD не равны, но это не обязательно для параллелограмма, так как нам нужно проверить, равны ли векторы AD и BC.

• Векторы AD и BC равны: (2; -2) и (2; -2).

Следовательно, ABCD — это параллелограмм, так как противоположные стороны равны.

b) Доказательство, что ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы ABCD была прямоугольником, необходимо, чтобы углы между соседними сторонами были прямыми. Это можно проверить с помощью скалярного произведения векторов.

1. Вычислим скалярные произведения векторов:

   • Вектор AB = (-3; -3)
   • Вектор AD = (2; -2)

   Скалярное произведение AB и AD: [ AB \cdot AD = (-3) \cdot 2 + (-3) \cdot (-2) = -6 + 6 = 0 ] Это значит, что угол между векторами AB и AD равен 90 градусам.

2. Теперь проверим угол между векторами BC и CD:

   • Вектор BC = (2; -2)
   • Вектор CD = (3; 3)

   Скалярное произведение BC и CD: [ BC \cdot CD = 2 \cdot 3 + (-2) \cdot 3 = 6 - 6 = 0 ] Это также означает, что угол между векторами BC и CD равен 90 градусам.

Теперь мы знаем, что два угла (угол между AB и AD, а также угол между BC и CD) равны 90 градусам. Поскольку ABCD — это параллелограмм и два угла равны 90 градусам, все углы равны 90 градусам, что и доказывает, что ABCD является прямоугольником.

Вывод:

Таким образом, мы доказали, что ABCD является параллелограммом и прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырехугольник (ABCD) является параллелограммом и прямоугольником, начнем с анализа координат его вершин. Напомним, что:

1. Для параллелограмма противоположные стороны должны быть параллельны и равны по длине.
2. Для прямоугольника у него должны быть не только противоположные стороны равны, но и углы прямые (перпендикулярность сторон).

Дано:

Точки: (A(1;5)), (B(-2;2)), (C(0;0)), (D(3;3)).

a) (ABCD) — параллелограмм.

Шаг 1: Проверка, что противоположные стороны параллельны.

Чтобы проверить, что противоположные стороны параллельны, найдем их направления с помощью векторов и проверим, равны ли их угловые коэффициенты (или пропорциональны ли координаты векторов).

• Вектор (\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-2 - 1; 2 - 5) = (-3; -3)),
• Вектор (\overrightarrow{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (3 - 0; 3 - 0) = (3; 3)).

Сравним (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{CD}): [ \overrightarrow{AB} = (-3; -3), \quad \overrightarrow{CD} = (3; 3). ] Очевидно, (\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD}), следовательно, (\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}).

Теперь проверим другую пару противоположных сторон:

• Вектор (\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (0 - (-2); 0 - 2) = (2; -2)),
• Вектор (\overrightarrow{DA} = (x_A - x_D; y_A - y_D) = (1 - 3; 5 - 3) = (-2; 2)).

Сравним (\overrightarrow{BC}) и (\overrightarrow{DA}): [ \overrightarrow{BC} = (2; -2), \quad \overrightarrow{DA} = (-2; 2). ] Очевидно, (\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA}), следовательно, (\overrightarrow{BC} \parallel \overrightarrow{DA}).

Итак, противоположные стороны параллельны.

Шаг 2: Проверка, что противоположные стороны равны по длине.

Найдем длины сторон: [ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}. ] [ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(3)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}. ] [ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}. ] [ |\overrightarrow{DA}| = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}. ]

Противоположные стороны равны: (|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}|) и (|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{DA}|).

Вывод:

Противоположные стороны параллельны и равны по длине, следовательно, (ABCD) — параллелограмм.

b) (ABCD) — прямоугольник.

Для доказательства, что параллелограмм является прямоугольником, проверим, что его соседние стороны перпендикулярны, то есть скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю.

Шаг 1: Проверка перпендикулярности (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{BC}).

[ \overrightarrow{AB} = (-3; -3), \quad \overrightarrow{BC} = (2; -2). ] Скалярное произведение: [ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-3)(2) + (-3)(-2) = -6 + 6 = 0. ] Скалярное произведение равно нулю, значит, (\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC}).

Шаг 2: Проверка перпендикулярности (\overrightarrow{BC}) и (\overrightarrow{CD}).

[ \overrightarrow{BC} = (2; -2), \quad \overrightarrow{CD} = (3; 3). ] Скалярное произведение: [ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (2)(3) + (-2)(3) = 6 - 6 = 0. ] Скалярное произведение равно нулю, значит, (\overrightarrow{BC} \perp \overrightarrow{CD}).

Шаг 3: Проверка перпендикулярности (\overrightarrow{CD}) и (\overrightarrow{DA}).

[ \overrightarrow{CD} = (3; 3), \quad \overrightarrow{DA} = (-2; 2). ] Скалярное произведение: [ \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = (3)(-2) + (3)(2) = -6 + 6 = 0. ] Скалярное произведение равно нулю, значит, (\overrightarrow{CD} \perp \overrightarrow{DA}).

Шаг 4: Проверка перпендикулярности (\overrightarrow{DA}) и (\overrightarrow{AB}).

[ \overrightarrow{DA} = (-2; 2), \quad \overrightarrow{AB} = (-3; -3). ] Скалярное произведение: [ \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = (-2)(-3) + (2)(-3) = 6 - 6 = 0. ] Скалярное произведение равно нулю, значит, (\overrightarrow{DA} \perp \overrightarrow{AB}).

Вывод:

Соседние стороны перпендикулярны, следовательно, все углы прямые. Параллелограмм (ABCD) является прямоугольником.

Окончательный вывод:

Четырехугольник (ABCD) является параллелограммом (так как противоположные стороны равны и параллельны) и одновременно прямоугольником (так как все углы прямые).