Даны точки А(0;0), В(1;-1), C(4;2). Найдите скалярное произведение ВС*АС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
Даны точки А(0;0), В(1;-1), C(4;2). Найдите скалярное произведение ВС*АС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
Сначала найдем векторы ВС и АС: ВС = (4-1; 2-(-1)) = (3; 3) АС = (4-0; 2-0) = (4; 2)
Теперь найдем скалярное произведение векторов ВС и АС: ВС АС = 34 + 3*2 = 12 + 6 = 18
Чтобы доказать, что треугольник АВС прямоугольный, проверим, является ли произведение длин векторов ВА и ВС равным нулю: ВА = (1-0; -1-0) = (1; -1)
ВА ВС = 13 + (-1)*3 = 3 - 3 = 0
Таким образом, скалярное произведение ВС АС равно 18, а произведение ВА ВС равно 0. Следовательно, треугольник АВС прямоугольный.
Скалярное произведение ВСАС: (4-1)(2-0) + (2-(-1))(0-0) = 32 + 3*0 = 6
Для доказательства прямоугольности треугольника АВС используем теорему Пифагора: AB^2 + BC^2 = AC^2 1^2 + 3^2 = 4^2 1 + 9 = 16 10 = 16 (неверно)
Таким образом, треугольник АВС не является прямоугольным.
Чтобы найти скалярное произведение векторов ( \vec{BC} ) и ( \vec{AC} ), сначала определим координаты этих векторов.
Точки ( B ) и ( C ) имеют координаты ( B(1, -1) ) и ( C(4, 2) ).
Вектор ( \vec{BC} ) определяется как разница координат точки ( C ) и точки ( B ): [ \vec{BC} = (4 - 1, 2 - (-1)) = (3, 3) ]
Теперь найдем координаты вектора ( \vec{AC} ). Точка ( A ) имеет координаты ( A(0, 0) ), и точка ( C ) имеет координаты ( C(4, 2) ).
Вектор ( \vec{AC} ) определяется как разница координат точки ( C ) и точки ( A ): [ \vec{AC} = (4 - 0, 2 - 0) = (4, 2) ]
Теперь найдем скалярное произведение векторов ( \vec{BC} ) и ( \vec{AC} ). Скалярное произведение двух векторов ( \vec{u} = (u_1, u_2) ) и ( \vec{v} = (v_1, v_2) ) вычисляется по формуле: [ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 ]
Для ( \vec{BC} = (3, 3) ) и ( \vec{AC} = (4, 2) ) это будет: [ \vec{BC} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 12 + 6 = 18 ]
Теперь докажем, что треугольник ( ABC ) прямоугольный. Для этого нужно показать, что один из углов треугольника равен 90 градусам, то есть скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю.
Рассмотрим векторы ( \vec{AB} ) и ( \vec{BC} ):
Теперь найдем скалярное произведение векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{BC} ): [ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (1, -1) \cdot (3, 3) = 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 3 = 3 - 3 = 0 ]
Поскольку скалярное произведение векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{BC} ) равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны, и угол между ними равен 90 градусам. Следовательно, треугольник ( ABC ) является прямоугольным, и угол ( \angle ABC ) равен 90 градусам.
