Даны точки A(-1;5;3),B(-3;7;-5) С(3;1;-5) а)Докажите,что треугольник ABC-равнобедренный. б)Найдите длину средней линии треугольника,соединяющей середины боковых сторон.
Даны точки A(-1;5;3),B(-3;7;-5) С(3;1;-5) а)Докажите,что треугольник ABC-равнобедренный. б)Найдите длину средней линии треугольника,соединяющей середины боковых сторон.
а) Доказательство равнобедренности треугольника ABC
Для начала найдем длины сторон треугольника ABC. Длина стороны между двумя точками в трехмерном пространстве вычисляется по формуле (d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}).
Расстояние AB: [ AB = \sqrt{(-3 + 1)^2 + (7 - 5)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 4 + 64} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} ]
Расстояние AC: [ AC = \sqrt{(3 + 1)^2 + (1 - 5)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} ]
Расстояние BC: [ BC = \sqrt{(3 + 3)^2 + (1 - 7)^2 + (-5 + 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 36 + 0} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} ]
Из вычислений видно, что ( AB = BC = 6\sqrt{2} ), а значит треугольник ABC является равнобедренным.
б) Нахождение длины средней линии, соединяющей середины боковых сторон
Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон треугольника и равна половине длины третьей стороны. Так как мы уже выяснили, что треугольник равнобедренный, и ( AB = BC ), средняя линия, соединяющая середины этих сторон, будет равна половине длины стороны AC.
[ \text{Длина средней линии} = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{6} = 2\sqrt{6} ]
Таким образом, длина средней линии, соединяющей середины сторон AB и BC, равна ( 2\sqrt{6} ).
а) Для того чтобы доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, необходимо убедиться, что две его стороны равны. Для этого найдем длины сторон треугольника ABC.
Сторона AB: AB = √[(-3 - (-1))^2 + (7 - 5)^2 + (-5 - 3)^2] = √[(-2)^2 + (2)^2 + (-8)^2] = √[4 + 4 + 64] = √72
Сторона AC: AC = √[(3 - (-1))^2 + (1 - 5)^2 + (-5 - 3)^2] = √[(4)^2 + (-4)^2 + (-8)^2] = √[16 + 16 + 64] = √96
Сторона BC: BC = √[(3 - (-3))^2 + (1 - 7)^2 + (-5 - (-5))^2] = √[(6)^2 + (-6)^2 + (0)^2] = √[36 + 36] = √72
Таким образом, стороны AB и BC равны. Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным.
б) Длина средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон, равна половине длины основания треугольника.
Длина основания треугольника равна стороне AB, которая равна √72.
Длина средней линии равна √72 / 2 = √18 = 3√2.
а) Для того чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, нужно показать, что длины сторон AB, BC и AC равны. Длина сторон AB = √((-1-(-3))^2 + (5-7)^2 + (3-(-5))^2) = √(4^2 + 2^2 + 8^2) = √(16 + 4 + 64) = √84 Длина сторон BC = √((-3-3)^2 + (7-1)^2 + (-5-(-5))^2) = √(6^2 + 6^2 + 0) = √(36 + 36) = √72 Длина сторон AC = √((-1-3)^2 + (5-1)^2 + (3-(-5))^2) = √(4^2 + 4^2 + 8^2) = √(16 + 16 + 64) = √96 Так как AB = √84, BC = √72 и AC = √96, треугольник ABC не равнобедренный.
б) Длина средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон, равна половине длины основания треугольника. Середины сторон AB, BC и AC: M_AB = ((-1-3)/2; (5+7)/2; (3-5)/2) = (-2;6;-1) M_BC = ((-3+3)/2; (7+1)/2; (-5-5)/2) = (0;4;-5) M_AC = ((-1+3)/2; (5+1)/2; (3-5)/2) = (1;3;-1) Длина средней линии равна: √((-2-0)^2 + (6-4)^2 + (-1-(-5))^2) = √(2^2 + 2^2 + 4^2) = √24 = 2√6.
