Даны две вершины треугольника А(-10;2) и В(6;4). Его высоты пересекаются в точке М(5;2). Определить...

Точка С имеет координаты (-5;6).

Чтобы определить координаты третьей вершины ( C ) треугольника ( ABC ), зная координаты двух его вершин ( A(-10, 2) ) и ( B(6, 4) ), а также точку пересечения высот ( M(5, 2) ), мы можем воспользоваться свойством ортоцентра.

Точка пересечения высот ( M ) (ортоцентр) треугольника обладает следующим свойством: если ( M ) является ортоцентром треугольника ( ABC ), то векторы ( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} ).

1. Вычисление векторов ( \overrightarrow{MA} ) и ( \overrightarrow{MB} ):

   [ \overrightarrow{MA} = A - M = (-10 - 5, 2 - 2) = (-15, 0) ]

   [ \overrightarrow{MB} = B - M = (6 - 5, 4 - 2) = (1, 2) ]

2. Используем уравнение векторов:

   [ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} ]

   Подставим известные векторы:

   [ (-15, 0) + (1, 2) + \overrightarrow{MC} = (0, 0) ]

   [ \overrightarrow{MC} = (0, 0) - (-15, 0) - (1, 2) = (15, 0) - (1, 2) = (14, -2) ]

3. Находим координаты точки ( C ):

   Поскольку ( \overrightarrow{MC} = C - M ), мы можем выразить ( C ):

   [ C = M + \overrightarrow{MC} = (5, 2) + (14, -2) = (19, 0) ]

Таким образом, координаты третьей вершины ( C ) треугольника ( ABC ) равны ( C(19, 0) ).

Для определения координат третьей вершины треугольника С можно воспользоваться свойствами высот треугольника. Высоты треугольника пересекаются в одной точке - ортоцентре.

Построим высоты треугольника АВ. Проведем высоту из точки А на сторону ВС и высоту из точки В на сторону АС. Обозначим точки пересечения высот с соответствующими сторонами как N и К. Таким образом, получаем два подобных треугольника: ΔАМН и ΔВКМ.

Используя подобие треугольников, можно найти координаты точки С. Для этого сначала найдем координаты точек N и К.

Координаты точки N можно найти, используя уравнение прямой, проходящей через точки А и М: y = k1x + b1, где k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) и b1 = y1 - k1x1 Подставив координаты точек А и М, найдем уравнение прямой AN. Аналогично найдем уравнение прямой BM.

После этого найдем координаты точек N и К. Далее, используя подобие треугольников, найдем координаты точки С, которая является пересечением высот треугольника.