Дано:ΔАВС, В=90°,внешний угол при вершине а=120°,АВ=7см. Найти длину гипотенузы.
Дано:ΔАВС, В=90°,внешний угол при вершине а=120°,АВ=7см. Найти длину гипотенузы.
Для решения задачи используем свойства прямоугольного треугольника и свойства внешних углов.
В данной задаче у нас есть прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ) с прямым углом ( B ). Внешний угол при вершине ( A ) равен 120°. Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных с ним внутренних углов. Значит, угол ( BAC ) плюс угол ( BCA ) равен 120°.
Так как ( B = 90° ), то угол ( BCA ) (угол ( C )) будет равен ( 180° - 90° - 120° = -30° ). Однако, поскольку это не имеет физического смысла в контексте углов треугольника, рассмотрим другую интерпретацию внешнего угла: внешний угол при вершине ( A ) должен быть равен ( 180° - \text{угол } A ). Таким образом, ( 180° - \text{угол } A = 120° ), откуда угол ( A = 60° ).
В прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°. Зная, что угол ( A = 60° ) и угол ( B = 90° ), находим угол ( C ): [ C = 180° - 60° - 90° = 30° ]
Теперь, когда известны углы в треугольнике, можно использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины гипотенузы ( AC ). Используем синус угла ( A ): [ \sin 60° = \frac{AB}{AC} ] где ( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} ). Тогда: [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7}{AC} ] [ AC = \frac{7 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3} \text{ см} ]
Таким образом, длина гипотенузы ( AC ) прямоугольного треугольника ( \triangle ABC ) равна ( \frac{14\sqrt{3}}{3} ) см.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов.
Обозначим гипотенузу как С, а катеты как А и В. Тогда по теореме косинусов имеем:
С^2 = А^2 + В^2 - 2 А В * cos(120°)
Так как угол B равен 90°, то В^2 = 7^2 = 49.
Также, cos(120°) = -1/2.
Подставляем известные значения:
С^2 = 7^2 + 49 - 2 7 sqrt(3)/2 С^2 = 49 + 49 - 7 sqrt(3) С^2 = 98 - 7 sqrt(3)
Таким образом, длина гипотенузы С равна корню из выражения 98 - 7 * sqrt(3).
Для нахождения длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике используется теорема Пифагора. В данном случае, гипотенуза равна √(AB² + BC²). Для нахождения BC используем формулу синуса: BC = AB/sinB. Подставляем значения и находим длину гипотенузы.
