Дано: угол 2 равен углу 3 Доказать: 1) угол 1 равен углу 3 2) угол 3 + угол 4=180°

Чтобы доказать данные утверждения, нам нужно рассмотреть конкретные геометрические свойства и теоремы. Предположим, что у нас есть определённая геометрическая конфигурация, например, пересекающиеся прямые или треугольник. Рассмотрим два возможных случая: пересекающиеся прямые и треугольник.

Пересекающиеся прямые

Предположим, что у нас есть две пересекающиеся прямые, образующие четыре угла. Обозначим их углы как ( \angle 1, \angle 2, \angle 3 ) и ( \angle 4 ), как показано на рисунке (не приводится, но предположим, что углы расположены против часовой стрелки).

Доказательство 1: ( \angle 1 = \angle 3 )

1. У нас есть данные, что ( \angle 2 = \angle 3 ).
2. Мы знаем, что вертикальные углы равны. Это значит, что ( \angle 1 = \angle 3 ) по свойству вертикальных углов.

Следовательно, ( \angle 1 = \angle 3 ).

Доказательство 2: ( \angle 3 + \angle 4 = 180^\circ )

1. ( \angle 2 = \angle 3 ) (по условию).
2. ( \angle 2 + \angle 4 = 180^\circ ) (по свойству смежных углов, которые образуют прямую линию).
3. Так как ( \angle 2 = \angle 3 ), подставим это значение в уравнение: ( \angle 3 + \angle 4 = 180^\circ ).

Следовательно, ( \angle 3 + \angle 4 = 180^\circ ).

Треугольник

Теперь рассмотрим случай треугольника, где угол 2 и угол 3 являются внутренними углами треугольника, а угол 1 и угол 4 — внешними углами.

Доказательство 1: ( \angle 1 = \angle 3 )

1. Пусть ( \angle 1 ) и ( \angle 3 ) — это внешние и внутренние углы при одной стороне треугольника.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних противоположных углов (по теореме о внешнем угле треугольника).
3. Если ( \angle 2 = \angle 3 ), то ( \angle 1 ) как внешний угол будет равен ( \angle 3 ).

Доказательство 2: ( \angle 3 + \angle 4 = 180^\circ )

1. В треугольнике сумма внутренних углов равна ( 180^\circ ).
2. ( \angle 3 ) — один из внутренних углов треугольника.
3. ( \angle 4 ) — внешний угол, смежный с другим внутренним углом треугольника.
4. Сумма внутреннего угла и смежного с ним внешнего угла равна ( 180^\circ ), так как они образуют прямую линию.

Таким образом, ( \angle 3 + \angle 4 = 180^\circ ).

Заключение

В обоих рассмотренных случаях (пересекающиеся прямые и треугольник) с условием ( \angle 2 = \angle 3 ) мы доказали, что ( \angle 1 = \angle 3 ) и ( \angle 3 + \angle 4 = 180^\circ ). Это демонстрирует применение основных геометрических теорем и свойств для доказательства данных утверждений.

1) Угол 1 равен углу 2 (по свойству вертикальных углов) 2) Угол 3 + угол 4 = угол 2 + угол 4 = 180° (по свойству суммы углов в треугольнике)

Для доказательства данных утверждений используем аксиому о равенстве углов: если два угла равны друг другу, то они равны соответственно любым другим углам.

1) Угол 2 равен углу 3, поэтому угол 1 равен углу 3 (так как угол 1 и угол 2 оба равны углу 3).

2) Так как угол 2 равен углу 3, то угол 2 + угол 4 = угол 3 + угол 4. Но так как угол 2 равен углу 3, то угол 3 + угол 4 = угол 3 + угол 4. Поэтому угол 3 + угол 4 = 180° (в сумме смежные углы образуют прямую).