Дано: SABCD-пирамида, ABCD-квадрат, SBперпендикуляр ABC, AB=2, уголSAB=60градусов. Найти: Sбок

Давайте подробно разберем задачу и найдем площадь боковой поверхности ( S_{\text{бок}} ) пирамиды ( SABCD ).

Дано:

1. ( SABCD ) — пирамида, в основании которой лежит квадрат ( ABCD ).
2. ( SB \perp ABCD ), то есть высота пирамиды проходит через вершину ( S ) и перпендикулярна плоскости основания.
3. ( AB = 2 ), соответственно, сторона квадрата основания ( ABCD ) равна ( 2 ).
4. Угол ( \angle SAB = 60^\circ ).

Найти: Площадь боковой поверхности ( S_{\text{бок}} ).

Решение:

Шаг 1. Найдем высоту пирамиды ( h ).

Так как ( SB \perp ABCD ), то ( SB ) является высотой пирамиды. Рассмотрим треугольник ( SAB ), который является прямоугольным (( \angle SBA = 90^\circ )).

В данном треугольнике:

• ( AB = 2 ) — гипотенуза треугольника.
• Угол ( \angle SAB = 60^\circ ).

По определению синуса: [ \sin \angle SAB = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{SB}{AB}. ] Подставляем значения: [ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad AB = 2, \quad \text{поэтому} \quad \frac{SB}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}. ] Отсюда: [ SB = \sqrt{3}. ] Таким образом, высота пирамиды ( h = SB = \sqrt{3} ).

Шаг 2. Найдем апофему пирамиды ( SA ).

Апофема ( SA ) — это боковое ребро пирамиды. Опять используем треугольник ( SAB ), где:

• ( AB = 2 ) — гипотенуза,
• ( SB = \sqrt{3} ) — один из катетов.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза ( AB ), катет ( SB ), а второй катет — ( SA ).

По теореме Пифагора: [ AB^2 = SB^2 + SA^2. ] Подставим известные значения: [ 2^2 = (\sqrt{3})^2 + SA^2. ] [ 4 = 3 + SA^2. ] [ SA^2 = 1. ] [ SA = 1. ]

Шаг 3. Найдем площадь боковой поверхности.

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырёх равных боковых треугольников: ( \triangle SAB ), ( \triangle SBC ), ( \triangle SCD ), ( \triangle SDA ). Нам нужно найти площадь одного такого треугольника и умножить на 4.

Площадь треугольника ( \triangle SAB ) равна: [ S{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SB. ] Подставим известные значения: [ S{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}. ]

Так как все четыре боковых треугольника одинаковы, то: [ S{\text{бок}} = 4 \cdot S{\triangle SAB} = 4 \cdot \sqrt{3}. ]

Ответ:

Площадь боковой поверхности пирамиды ( S_{\text{бок}} = 4\sqrt{3} ).

Для решения задачи нужно найти длину бокового ребра ( SB ) пирамиды ( SABCD ), при этом известно, что ( ABCD ) является квадратом с длиной стороны ( AB = 2 ), угол ( \angle SAB = 60^\circ ), и ( SB ) перпендикулярно основанию ( ABCD ).

1. Определение координат точек: Положим квадрат ( ABCD ) в плоскости ( XY ):

   • ( A(0, 0, 0) )
   • ( B(2, 0, 0) )
   • ( C(2, 2, 0) )
   • ( D(0, 2, 0) )

   Точка ( S ) будет находиться выше плоскости квадрата, так как ( SB ) перпендикулярна плоскости ( ABCD ). Обозначим координаты точки ( S ) как ( S(2, 0, h) ), где ( h ) — это высота пирамиды от основания до вершины.

2. Использование угла: Из условия задачи известно, что угол ( \angle SAB = 60^\circ ). Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты ( h ).

   В треугольнике ( SAB ) угол ( \angle SAB ) образует отношение между высотой ( h ) и основанием, которое равно длине отрезка ( AB ): [ \tan(\angle SAB) = \frac{h}{AB} ] Подставляем известные значения: [ \tan(60^\circ) = \frac{h}{2} ] Так как ( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} ): [ \sqrt{3} = \frac{h}{2} ] Отсюда находим ( h ): [ h = 2\sqrt{3} ]

3. Нахождение длины бокового ребра ( SB ): Теперь мы можем найти длину бокового ребра ( SB ) с помощью теоремы Пифагора. Длина ( SB ) будет равна: [ SB = \sqrt{(x_S - x_B)^2 + (y_S - y_B)^2 + (z_S - z_B)^2} ] Подставляем координаты:

   • ( S(2, 0, 2\sqrt{3}) )
   • ( B(2, 0, 0) )

   Подставляем в формулу: [ SB = \sqrt{(2 - 2)^2 + (0 - 0)^2 + (2\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{0 + 0 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ]

Таким образом, длина бокового ребра ( SB ) пирамиды ( SABCD ) равна ( 2\sqrt{3} ).

Чтобы найти длину бокового ребра ( SB ) пирамиды ( SABCD ), можно использовать треугольник ( SAB ).

1. В треугольнике ( SAB ) известны:

   • ( AB = 2 )
   • угол ( SAB = 60^\circ )

2. Используем синус для нахождения ( SB ): [ \sin(60^\circ) = \frac{h}{AB} = \frac{h}{2} ] где ( h ) — высота от точки ( S ) до основания ( AB ).

3. Высота ( h ) также равна длине ( SB ) из-за перпендикулярности ( SB ) к плоскости ( ABC ).

4. Таким образом, используя ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ): [ SB = h = AB \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} ]

Ответ: ( SB = \sqrt{3} ).