Дано: ABCD-параллелограмм, AE-биссектриса угла BAD, P-56 см, BE : EC=3:1. Найти: стороны параллелограмма
Дано: ABCD-параллелограмм, AE-биссектриса угла BAD, P-56 см, BE : EC=3:1. Найти: стороны параллелограмма
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться тем, что биссектриса угла параллелограмма делит его сторону на отрезки пропорциональные смежным сторонам.
Пусть сторона параллелограмма AB равна a, а сторона BC равна b. Тогда из условия BE : EC = 3 : 1 следует, что BE = 3x и EC = x.
Также из условия AE - биссектриса угла BAD следует, что треугольник ABE равнобедренный (так как AB = AE), а значит, у этого треугольника углы EAB и EBA равны. Из этого следует, что треугольники ABE и ECD подобны, так как имеют равные углы при E и общий угол при C.
Составим пропорции для подобных треугольников: AB / BE = AE / EC a / 3x = a / x a * x = 3a x = 3
Теперь можем найти значения сторон параллелограмма: AB = AE = 3x = 3 * 3 = 9 см BC = EC = x = 3 см
Итак, стороны параллелограмма ABCD равны 9 см и 3 см.
Для решения задачи о нахождении сторон параллелограмма ABCD, где AE — биссектриса угла BAD, ( P = 56 ) см (периметр), и ( BE : EC = 3 : 1 ), давайте разберемся шаг за шагом.
Обозначим стороны параллелограмма: Пусть ( AB = a ) и ( AD = b ). Так как ABCD — параллелограмм, противоположные стороны равны: ( BC = a ) и ( CD = b ).
Используем периметр: Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон: [ P = 2a + 2b = 56 \text{ см} ] Отсюда получаем: [ a + b = 28 \text{ см} ]
Рассмотрим отношение ( BE : EC = 3 : 1 ): Так как AE — биссектриса угла BAD, по теореме о биссектрисе, она делит сторону BC в отношении длин сторон AD и AB: [ \frac{BE}{EC} = \frac{AD}{AB} = \frac{b}{a} ] Нам дано ( \frac{BE}{EC} = 3 : 1 ), следовательно: [ \frac{b}{a} = 3 ]
Решаем систему уравнений: Имеем два уравнения: [ a + b = 28 ] [ b = 3a ] Подставим второе уравнение в первое: [ a + 3a = 28 ] [ 4a = 28 ] [ a = 7 ] Подставим значение ( a = 7 ) в уравнение ( b = 3a ): [ b = 3 \times 7 = 21 ]
Таким образом, стороны параллелограмма ABCD равны: [ AB = a = 7 \text{ см}, \quad AD = b = 21 \text{ см} ] [ BC = 7 \text{ см}, \quad CD = 21 \text{ см} ]
Ответ: Стороны параллелограмма ABCD равны 7 см и 21 см.
AB=72 см, BC=24 см, CD=72 см, AD=24 см
